§ 6. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ

Если каждой точке М односнязной области пространства отнесен вектор то образуется векторное поле.

Если задать систему координат (например, правую), то каждая точка М будет иметь некоторые координаты и вектор-функция точки М становится вектор-функцией трех переменных .

Криволинейный интеграл от вектор-функции

Пусть - непрерывная вектор-функция на кусочногладкой дуге (рис. 10). Разобьем дугу на части с помощью точек деления на каждой части возьмем какую-нибудь точку впачение рассматриваемой вектор-функции в этой точке скалярно умножим на вектор и составим сумму этих скалярных произведений

Рис. 10.

Если наибольшая из длин частей дуги стремится к пулю, то эта сумма стремится к определенному пределу, который называется криволинейным интегралом от а вдоль дуги и обозначается знаком (здесь есть «ориентированный элемент дуги»).

Криволинейный интеграл от вектор-функции легко выражается через обыкновенный криволинейный интеграл.

Зададим систему координат. Пусть радиус-вектор координаты точки координаты точки тогда

откуда в пределе получаем:

Это рассуждение не только дает выражение криволинейного интеграла от вектор-функции через обыкновенный криволинейный интеграл, дает доказательство существования его, если существование обыкновенного криволинейного интеграла считается известным.

Если — какой-нибудь путь в заданном векторном поле, то, рассматривая векторы а как силы (тогда векторное поле становится силовым полем), найден, что скалярное произведение в будет (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) работой силового поля при перемещении точки от положения М, в положение Складывая эти элементарные работы и переходя к пределу, найдем, что будет работой силового поля при перемещении точки по пути По этой причине криволинейный интеграл называется работой векторного поля вдоль пути Работа векторного поля вдоль вамкнутого пути называется еще циркуляцией векторного поля вдоль этого замкнутого пути.

Определение. Векторное поле называется потенциальным, если работа этого поля не зависит от формы пути или, что равносильно, если циркуляция векторного поля вдоль каждого замкнутого пути равна нулю.

Из формулы (2.26) следует, что для потенциальности векторного поля необходимо и достаточно, чтобы криволинейный интеграл

не вависел от формы пути. И в § 5 следует, что для этого необходимо и достаточно, чтобы выражение

было полным дифференциалом некоторой функции и (силовая функция), нначе говоря, чтобы выполнялись равенства

В этом случае работа поля вдоль пути равна

где называется потенциалом векторного поля. Таким образоч, работа потенциального векторного поли равна приращению силовой функции или уменьшению по тенциала.

Следствие. Для потенцнальностн векторного поля необходимо и достаточно, чтобы оно было полем градиентов некоторого скалярного поля.

В самом деле, если то

и, следовательно,

есть полный дифференциал, причем играет роль силовой функции.

Обратно, если

то

и, следовательно,

что и требовалось доказать.

Промер. Пусть имеем какое-нибудь центрированное векторное поле (с центром О); это значит, что каждый вектор а лежит на луче причем длина и направление вектора зависят только от расстояния Тогда

— скалярная функция положительного аргумента

Имеем

где учитывая, что

Таким образом, центрированные векторные поля потенциальны.

Векторными линиями векторного поля а называются такие кривые, которые в каждой своей точке М имеют направление вектора а(М). Эти линии определяются из системы дифференциальных уравнений

Если С — какой-нибудь замкнутый контур в пространстве, то векторные линии, проходящие через точки этого контура, образуют поверхность, называемую векторной трубкой.