§ 20. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ

Общие замечания о действиях над отображениями

Пусть — отображение множества А в множество В, -отображение множества В в множество С (природа элементов всех этих множеств безразлична). Тогда произведение отображений и Т определяется как такое отображение множества А в множество С, которое является результате последовательного выполнения и Т. Это значит, что для всякого а из А. Произведение отображений обладает сочетательным свойством

Если — взаимно однозначное отображение множества А на множество В (это значит, что каждый элемент из В имеет ровно один прообраз в А), можно говорить об обратном отображении множества В на множество А (если каждому элементу из В отнести его прообраз в А).

Если каждому элементу из А отнести этот же элемент, то получим тождественное отображение Е множества А на

себя. Очевидно, Аналогично, (здесь — тождественное отображение В на себя).

Если и — взаимно однозначные отображения А на В, Т — взаимно однозначное отображение В на С, то из следует . В самом деле, последозательно находим;

Аналогично из найдем

Однолистные функции

Функция , определенная в некоторой области, называется униваленгпной на некотором множестве (входящем в область определения), если разным точкам этого множества отвечают разные значения функции.

Мероморфная (в частности, аналитическая) функция в некоторой области называется однолистной в если она унивалентна на

Если мероморфная функция однолистна в области в каждой регулярной точке этой области производная отлична нуля. В самом деле, если в некоторой точке то будет -точкой кратности выше первой, а тогда в силу одного из следствий из теоремы Руше (см. § 18) при достаточно близких к более одного раза принимает значение противоречит унивалентности.

Однолистная функция в области может иметь не более одного полюса, причем этот полюс может быть только простым. В самом деле, если — полюс для то — нуль для а так как тоже однолистна, то по доказанному -простой нуль для и, следовательно, простой полюс для

Всякая аналитическая функция однолистна в достаточно малой окрестности каждой точки, в которой производив отлична от нуля.

В самом деле, пусть тогда если бы ни в какой окрестности не была однолистна, то нашлись бы такие последовательности точек что Пусть тогда — окружность с центром и радиусом где таково, что при Очевидно, имеет внутри только один нуль (с учетом кратности) и не имеет нулей Но равномерно на , следовательно, — по теореме Гурвица — при достаточно большом, имеет внутри тоже лишь один нуль учетом кратности), и мм получаем противоречие, ибо при достаточно большом эта функция имеет внутри нули

Всякая мероморфная функция однолистна в достаточно малой окрестности каждого простого полюса. В самом деле, — простой полюс для то — простой нуль для По доказанному однолистна в некоторой окрестности точки следовательно, однолистна в этой же окрестности.

Замечание 1. Если мероморфна в полной плоскости, есть рациональная функция.

В самом деле, пусть — полюсы (число их 0 а, конечно, среди них может быть Вычитая из сумму главных частей в полюсах получим функцию, аналитическую в полной плоскости, но таковая в силу теоремы Лиувилля является постоянной. Следовательно, равна сумме постоянной и своих главных частей в полюсах

Таким образом, рациональна.

Замечание 2. Если мероморфна и однолистна в полной плоскости, то есть линейная функция (т. е. вида

В самом деле, может иметь не более одного полюса и таковой может быть лишь простым. Как мы видели в предыдущем замечании, равна сумме постоянной и главных частей в ее полюсах; следовательно, в рассматриваемом

случае может лишь вмегь вид (если есть конечный полюс (если есть полюс). Случай отсутствия полюсов не может представиться, ибо в этом случае была бы постоянной.

Итак, линейна. Заметим, что значениями будут все точки полной плоскости.

Отметим еще один факт, относящийся к однолистным функциям. Если однолистна в области, полученной выбрасыванием некоторого множества точек, не имеющего предельной точки внутри то после надлежащего доопределения в точках этого множества станет однолистной в области

Действительно, точки упомянутого множества являются изолированными особыми для . Учитывая однолистность и теорему Сохоцкого, легко заметить, что эти особые точки не могут быть существенно особыми, следовательно, в них естественным образом доопределяется и становится мероморфной в Если бы она в двух точках принимала одинаковое значение а, то в любой близости к этим точкам она принимала бы любые, достаточно близкие к а вначения, что противоречит однолистности в ее первоначальной области определения.