§ 2. РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ

Пусть имеем бесконечную последовательность комплексных чисел

где Число навивается пределом втой последовательности, если для всякого найдется

такой номер что при будем иметь . В этом случае пишут: или Геометрически это означает, что для всякого круга с центром все члены последовательности, начиная с некоторого, лежат внутри этого круга. Последовательность комплексных чисел не может иметь двух пределов, следовательно, либо имеет один предел (тогда называется сходящейся), либо не имеет предела (тогда называется расходящейся).

Для сходимости последовательности чисел необходимо и достаточно, чтобы сходились последовательность чисел и последовательность чисел

В самом деле, если последовательность сходится к то при имеем но тогда подавно следовательно, . Обратно, если , то при имеем при имеем поэтому при (где - наибольшее )

следовательно,

Критерий Коши. Для сходимости последовательности комплексных чисел необходимо и достаточно, чтобы для всякого нашелся такой номер что при имели бы

Этот критерий может быть доказан прямым путем, но его можно получить из критерия Коши для последовательностей действительных чисел (считая, что для них он бил уже докаван). В самом деле, если для выполнено требование критерии Коши, то оно выполнено и для так как

Обратно, если требование критерия Коши выполнено для и для то сразу усматриваем его выполнимость для

Пусть имеем ряд с комплексными членами

где

Ряд (3.7) называется сходящимся, если последовательность частичных сумм сходится. Тогда ее предел называют суммой ряда (3.7) и пишут

В противном случае ряд (3.7) называется расходящимся. Из доказанного выше предложения для последовательностей непосредственно следует: для сходимости ряда с комплексными членами где необходимо и достаточно, чтобы ряды с действительными членами и были сходящимися.

Из критерия Коши для последовательностей комплексных чисел непосредственно вытекает критерий Коши для рядов с комплексными членами: для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для всякого нашелся такой номер что при имели бы

В самом деле, достаточно лишь заметить, что

Ряд с комплексными членами называется абсолютно сходящимся, если ряд сходится. Из критерия Коши сразу следует, что абсолютно сходящийся ряд сходится. Для абсолютной сходимости очевидно необходима и достаточна абсолютная сходимость рядов ибо

Если ряд абсолютно сходится, то при любой перестановке членов факт абсолютной сходимости и величина суммы не меняются. Это следует из последнего замечания,

если считать, что для рядов с действительными членами теорема уже известна.

В абсолютно сходящихся рядах с комплексными членами разрешается любая группировка членов (в одну группу может попадать как конечное, так и бесконечное число членов). Этот факт можно установить прямым путем, но он получается как следствие, если для абсолютно сходящихся рядов с действительными членами его считать из вестным.

Абсолютно сходящиеся ряды с комплексными членами можно почленно перемножать. можно доказать прямым путем, но этот факт получается сразу, если считать его уже установленным для рядов с действительными членами. В самом деле, пусть абсолютно сходятся, Тогда абсолютно сходятся и затем