§ 7. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Множество точек на плоскости называется открытым, если вокруг каждой его точки можно описать круг, целиком лежащий в рассматриваемом множестве. Открытое множество называется областью, если зсякие две его точки можно соединить непрерывной дугой, лежащей в рассматриваемом множестве. Граничной точкой области называется точка, не принадлежащая области и такая, что в любой близости к ней имеются точки рассматриваемой области. Совокупность всех граничных точек области называется границей. области. Если к области присоединить ее границу, то полученное множество точек называется замкнутой областью. Множество точек на плоскости называется ограниченным. если его можно поместить на некотором круге достаточно большого радиуса.

Примеры. Внутренность простого замкнутого контура есть ограниченная область. Внутренность простого замкнутого контура вместе с точками самого контура образует ограниченную замкнутую область.

Если С — простой замкнутый контур, — простые замкнутые контуры, лежащие внутри С, но вне друг друга, то множество точек, лежащих внутри С, но вне всех есть ограниченная область. Вся плоскость, полуплоскость, полоса между параллельными прямыми, внутренность угла дают прнмерм неограниченных областей.

Функция комплексного переменного определенная в области и дифференцируемая в каждой точке этой области, называется аналитической в области

Функция двух действительных переменных и определенная в области имеющая в этой области непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяющая уравнению Лапласа

называется гармонической в области

Между аналитическими и гармоническими функциями теется простая связь.

Действительная часть всякой аналитической функции есть гармоническая функция.

В самом деле, пусть

есть аналитическая функция в области Будем предполагать, что имеют непрерывные частные производные до второго порядка включительно в области заметим, что это предположение не является ограничением, ибо так всегда будет, но из самого определения аналитической функции этого непосредственно не видно). Дифференцируя уравнения Коши — Римана

соответственно по х и по у и учитывая независимость частных производных от последовательности дифференцирований, получим:

следовательно, и есть гармоническая функция в области

Очевидно, будет тоже гармонической, ибо является действительной частью для

В случае односвязной области (область называется односвязной, если всякий непрерывный замкнутый путь, лежащий в этой области, можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не выходя из области) справедливо обратное предложение.

Всякая гармоническая функция в односвязной области является действительной частью некоторой (однозначной) аналитической функции.

В самом деле, если — гармоническая функция в области то можно найти такую функцию которая связана с и уравнениями Коши — Римана

если заметить, что иырансения и удовлетворяют условию так как

Следовательно, есть аналитическая функция комплексного переменного в области

Гармоническая функция называется сопряженной для гармонической функции Мы видим, что если — гармоническая, то выражение — является полным дифференциалом и задача отыскания со пряженной гармонической функции есть задача интегрирования этого полного дифференциала. Сопряженная гармони ческая функция определена с точностью до произвольного постоянного слагаемого.