§ 8. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО

Эта формула преобразовывает поверхностный интеграл по замкнутой поверхности в тройной интеграл по области, ограниченной этой поверхностью.

Пусть — замкнутая область, ограниченная замкнутой поверхностью а — непрерывные функции с непрерывными частными производными первого порядка на

Рис. 14.

Сперва предположим, что ограничена снизу поверхностью сверху — поверхностью с боков — цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси вырезающей на плоскости площадку А (рис. 14). Тогда будет состоять куска поверхности куска поверхности куска цилиндрической поверхности с образующими, параллельными Имеем:

где интегрирование происходит по нижней стороне 5, и по верхней стороне

Добавляя к правой части последнего равенства, мы не нарушим его, так как следонательно,

где в правой части интегрирование происходит по внешней стороне замкнутой поверхности

В общем случае можно разбить на конечное число частей рассмотренного выше типа (мм ограиичиваемя рассмотрением областей которые допускают такое разбиение). Применяя к каждой из частей формулу (2.37) и складывая полученные равенства, найдем, что (2.37) будет справедлива для рассматриваемой областв (так как интегралы по перегородкам взаимно уничтожаются).

Меняя роля переменных, получим еще две аналогичные формулы:

Рис. 15.

Почленное сложение формул (2.37), (2.37), (2.37) дает нам искомую формулу Остроградского

где — ограниченная замкнутая область в пространстве (рис. 15), — вамкнутая поверхность, ограничивающая и — функции, непрерывные вместе с их частными производными первого порядка на причем в левой части формулы интегрирование происходит по внешней сюроне поверхности