Линейные преобразования

Линейные преобразования

являются единственными конформными отображениями полной плоскости на полную плоскость. Преобразование, обратное линейному, также линейно, произведение линейных преобразований также является линейным преобразованием. Всякое линейное преобразование (3.66) определяется некоторой матрицей комплексных чисел с отличным от нуля

определителем причем матрицы

только тогда определяют линейное преобразование, когда их элементы пропорциональны. Если определяется матрицей Линейное преобразование (3.66) называется целым, если дробным если

Заметим, что если то можно получить, исходя из

Заметим, что если

то можно получить, исходя из так:

Из этих замечаний следует, что всякое линейное преобразование можно разложить в произведение линейных преобразований частных видов

Еще заметим, что если число представить в показательной форме то можно получить, исходя из Наконец, можно получить, исходя из

Из сказанного следует, что всякое линейное преобразование можно разложить в произведение преобразований, каждое из которых относится к одному из пяти видов:

где — комплексное число, — действительное число, — положительное число. Эти преобразования могут быть переписаны так (полагая

и называются соответственно: параллельным переносом, поворотом, подобием, инверсией, симметрией.

Окружностями (в широком смысле) на полной плоскости называть окружности и прямые. Через каждые три различные точки полной плоскости проходит единственная окружность (в широком смысле).

Теорема. Всякое линейное преобразование переводит каждую окружность (в широком смысле) в некоторую окружность (в широком смысле).

Доказательство. Так как всякое линейное преобразование разлагается в произведение преобразований, относящихся к помянутым выше пяти видам, то достаточно показать, что преобразования этих пяти видов переводят окружности (в широком смысле) в окружности (в широком смысле). Это очевидно для параллельного переноса, поворота, подобия, симметрии. Остается проверить это для инверсии. Уравнение какой-нибудь окружности (в широком смысле) можно записать

— действительные числа; при это

окружность, при это прямая). Из соотношений

(преобразование, обратное инверсии, есть тоже инверсия) найдем, что образ этой окружности (в широком смысле) имеет уравнение

и, следовательно, тоже является окружностью (в широком смысле), что и требовалось доказать.

Всякое нетождественное линейное преобразование имеет либо одну, либо две неподвижные точки (т. е. точки, переходящие в себя).

В самом деле, о случае дробного линейного преобразования его полюс и точка не являются неподвижными точками, а отличная от них точка будет неподвижной, если удовлетворяет уравнению (квадратное уравнение); в случае целого линейного преобразования точка является неподвижной точкой, а конечная точка будет неподвижной, если удовлетворяет уравнению (уравнение степени не выше первой).

Таким образом, нетождественное линейное преобразование в обоих случаях имеет либо одну, либо две неподвижные точки.

Теорема. Если — какие-нибудь три различные точки полной плоскости и — тоже какие-нибудь три различные точки полной плоскости, то существует единственное линейное преобразование, переводящее соответственно в

Доказательства Сперва заметим, что не существует различных линейных преобразований и М, переводящих соответственно в так как в противном случае было бы нетождественным линейным преобразованием с тремя неподвижными точками что невозможна

Непосредственно проверяется, что линейное преобразовавание где

переходит соответственно в . Отсюда следуя. что будет линейным преобразованием, переводящим соответственно в что и требовалось доказать.

Понятие симметрии относительно прямой хорошо известна Докажем теперь понятие симметрии относительно окружности.

Определение. Пусть С — окружность с центром О и и Точкой, симметричной какой-нибудь точке Р относительно окружности С, называется точка Р, обладающая свойствами: 1) Р и Р лежат на одном луче, выходящем из центра окружности С;

Если Р совпадает с центром окружности С, то полагают и обратно. Если Р симметрична Р, то Р симметрична. Если Р и Р — симметричные точки относительно окружности (в широком смысле) С, то всякая окружность (в широком смысле), проходящая через Р и Р, ортогональна С. Обратно всякая окружность (в широком смысле), проходящая через Р и ортогональная С, проходит через Р.

Рис. 57.

Доказательство. Пусть (рис. 57) Г — окружность, проходящая через Р и Р, и касательная к Г, проведенная из центра О окружности С. По известной теореме элементарной геометрии Но - откуда Следовательно, точка М лежит на С и Г ортогональна С.

Пусть (см. рис. ) теперь Г — окружность, проходящая через Р и ортогональная С, М — точка пересечения , Р — вторая точка пересечения Г с прямой О Р. Тогда будет касательной к Г и, следовательно, откуда следует, что Р есть точка, симметричная Р относительно С. Теорема становится тривиальной, если либо С, либо Г есть прямая, что и требовалось доказать.

Следствие. Пусть точки Р и Р симметричны относительно окружности (в широком смысле) С; точки и симметричны относительно окружности (в широком смысле) Г. Тогда линейное преобразование, переводящее С в Г и точку Р а точку переведет точку Р в точку

В самом деле, в силу консерватизма утло» окружности (в широком смысле), проходящие через Р и ортогональные С, перейдут в окружности (в широком смысле), проходяише через и ортогональные Г, следовательно, точка пересечении первых Р перейдет в точку пересечения вторых

Положим для всяких двух разных точек

Очевидно будет одним из линейных преобразований, переводящих соответственно в

Положим еще для всякого К (отличного от 0 и

Очевидно есть линейное преобразование с неподвижными точками 0 и и обратно, всякое линейное преобразование с неподвижными точками 0 и есть при некотором К (это видно из выражения где к отлично от 0 и Следовательно, всякое линейное преобразование, сохраняющее точку 0 и переводящее единичную окружность в себя, должно иметь вид (ибо , как с точкой 0 относительно единичной окружности, сохраняется), причем, очевидно,

Следовательно, линейное преобразованяе, переводящее единичную окружность в себя, сохраняющее центр и направление действительной оси, есть тождественное преобразование.

Замечание. Всякое линейное преобразование с двумя неподвижными точками можно записать в виде

где К отлично от . Обратно, всякое преобразование (3.70) есть линейное преобразование с неподвижными точками .

В самом деле, если имеет неподвижные точки в и будет линейным преобразованием с неподвижными точками следовательно откуда умножением слева на и умножением справа на получим искомое равенство (3.70).

Обратно, при всяком К, отличном от , будет линейным преобразованием с неподвижными точками

Для каждого нетождественною линейного преобразования с двумя неподвижными точками и определено с точностью ее замены обратным числом (ибо при перестановке неподвижных точек К заменяется на

Нетождественное линейное преобразование с двумя неподвижными точками называется гиперболическим, если К положительно, эллиптическим, если локсодромическим в прочих случаях, где тождественное линейное преобразование с одной неподвижной точкой называется параболическим

Теорема. Пусть — одна из двух областей, на которые окружность (в широком смысле) С делит полную плоскость, Р — точка в «направление», выходящее из Р; пусть — одна из двух областей, на которые окружность (в широком смысле) Г делит полную плоскость, — точка в — «направление», выходящее из Тогда существует единственное линейное преобразование, переводящее область в область точку Р в точку «направление в «направление»

Доказательство. Сперва заметим, что внутренность или внешность окружности можно линейным преобразованием перевести в некоторую полуплоскость (для этого достаточно взять линейное преобразование, переводящее три разные точки окружности в какие-нибудь три разные точки, из которых одна Заметим еще, что в частном случае, когда С и Г, упоминаемые в теореме, являются прямыми, найдется линейное преобразование, переводящее О в в ибо легко получить линейное преобразование составленные из вращения, параллельного переноса и подобия, переводящее в полуплоскость и точку Р в точку и аналогичное М, переводящее в полуплоскость и точку в точку I, а тогда переведет в

После этих замечаний перейдем к доказательству теоремы. Пусть линейное преобразование, переводящее в некоторую полуплоскость оно переводит точку и «направление в некоторые точку и «направление» — линейное преобразование, переводящее внутренность

единичного круга в некоторую полуплоскость ; оно переведет точку О в некоторую точку Пусть линейное преобразование, переводящее оно переведет «направление» выходящее из в некоторое «направление» , выходящее из Преобразование переводят во внутренность единичного круга, в его центр, «направление» в некоторое направление выходящее из центра. Пусть Т — вращение, переводящее «направление» в «направление» ; тогда будет искомым линейиым преобразованием, переводящим в Остается показать, что не существует двух таких преобразований и Пусть — линейное преобразование, переводящее внутренность единичного круга в его центр в Р, «направление» действительной оси в «направление» т. Тогда переводит внутренность единичного круга в себя, сохраняет центр и направление действительной оси, следовательно, будет тождественным преобразованием Е. Но из (умножаем слева на справа на , наконец, слева на найдем, что

Зимечание. Если линейное преобразование переводит окружность (в широком смысле) С в окружность (в широком смысле) Г и точку а, не лежащую на С, в точку Р, то

при надлежащем выборе К, где а — точка, симметричная относительно

В самом деле, сохраняет точки , следовательно, имеет вид Из умножением слева на и умножением справа на получим искомое выражение для

В частности, если Г есть единичная окружность и то но есть тождественное преобразование, следовательно, в рассматриваемом случае при некотором . Заметим, что тогда при произвольном К это преобразование переведет а в в некоторую окружность с центром 0. Поэтому достаточно потребовать, чтобы некоторое на С переходило в точку с единичным модулем. Таким образом, общий вид всех линейных преобразований, переводящих С в единичную окружность и точку а, не лежащую на есть

где — какая-нибудь фиксированная точка на С. Иначе говоря, общий вид таких преобразований есть

Пример Найти всевозможные линейные преобразования переводящие единичную окружность в себл и точку .

Здесь следовательно, искомые линейные преобразования будут

ибо, если то и можно взять

Пример 2. Найти все линейные преобразования, переводящие действительную ось в единичную окружность и точку .

Здесь следовательно, искомые линейные преобразования будут: