§ 14. РЯД ТЕЙЛОРА

Пусть -аналитическая функция внутри круга с центром а (радиус которого может быть, в частности, равен — тогда это будет вся плоскость).

Пусть — точка внутри данного круга и С — концентрическая окружность меньшего радиуса такая, что лежит внугри нее (рис. 39). Пусть — радиус круга С. По формуле Коши

При имеем:

я так как последнее выражение можно рассматривать как сумму убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем Таким образом,

Рис. 39.

Сходимость этого ряда равномерна по С на С (при фиксированном ), так как этот ряд мажорируется числовой убывающей геометрической прогрессией

Умножая предыдущее равенство на интегрируя почленно по С и деля на получим:

или

где

причем Г есть произвольно фиксированная окружность с центром а, лежащая внутри первоначально ваданного круга (замена С на Г законна, так как аналитична между С и Г, включая их).

Итак, доказана следующая теорема.

Теорема. Всякая аналитическая функция внутря круга с центром а может быть разложена внутри этого круга в степенной ряд

коэффициенты которого определяются формулой

где Г — какая-нибудь окружность с центром а, лежащая внутри данного круга.

Этот степенной ряд называется рядом Тейлора для в рассматриваемом круге.

Пусть функция разложена в круге с центром а в какой-нибудь степенной ряд Пусть Г — концентрическая окружность меньшего радиуса. Тогда на Г этот ряд равномерно сходитси. Умножая равенство интегрируя затем почленно вдоль Г и умножай еще на получим:

учвтывая, что в силу (3.36).

Этим доказана единственность разложения аналитической функции в круге с центром а в степенной ряд по степеням

Лемма. Пусть — аналитическая функция в области равная нулю в некоторой области содержащейся в Тогда тождественно равна нулю в

Сделаем предварительное замечание. Из формулы (3.46) видно, что если функция аналитична внутри некоторого круга К и равна

нулю в концентрической круге меньшего радиуса (рис. 40), то она равна нулю внутри круга К. В самой деле, взяв Т лежащий внутри наименьшего круга найдем по формулам (3.46), что все но тогда по формуле внутри К.

Рассмотрим теперь конечную цепочку лежащих в кругов

обладающую тем свойством, что центр каждого круга лежит внутри предыдущего круга, центр первого круга лежит в центр последят круга лежит в произвольно выбранной точке области

Рис. 40.

Рис. 41.

Такую цепочку кругов можно, например, построить следующим способом (рис. 41). Соединим точку принадлежащую области спрямляемой дугой Т с точкой Пусть положительное число 8 меньше расстояния дуги Г до границы области Разобьем Г на конечное число частей с длинами, меньшими 8. Тогда цепочка кругов радиуса с центрами в точках деления удовлетворяет всем нужным требованиям.

С помощью сделанного выше замечания найдем последовательно, что равна нулю внутри внутри К», внутри Таким образом, для любой точки области получим

Легко видеть, что если — аналитическая функция в области не равная тождественно нулю, то вокруг всякой точки а области можно описать такой круг, лежащий в внутри этого круга, кроме, может быть, точки а, функция отлична от нуля.

В самом деле, опишем около точки а круг, лежащий и Согласно лемме в этом круге не может быть тождественно равна нулю. Следовательно, и разложении функции этом круге и ряд по степеням не может случиться, что все коэффициенты равны нулю. Пусть и упомянутом разложении первый из коэффициентов,

отличных от нуля, есть тогда

где

Функция непрерывна в точке , следовательно, в достаточно малом концентрическом круге меньшего радиуса поэтому, за исключением, быть может, точки а, имеем в этом круге

Точка а называетси нулем функции если Из последнего предложения следует, что если аналитическая в области не равна тождественно нулю, то все ее нули в области изолированные (т. е. вокруг каждого из них можно описать такой круг, что других нулей в этом круге не будет). Кратностью нуля аналитической функции (не равной тождественно нулю) называется такое что разложение в степенной ряд в окрестности рассматриваемого пуля а начинается с степени, иначе говоря, если в окрестности а инеем где аналитическая функция такай, что Нули кратности I называются простыми, нули кратности 2 — двойными, нули кратности 3 — тройными.

Теорема единственности. Если в области даны две аналитически с функции, совпадающие на множестве точек, имеющем хотя бы одну предельную точку, лежащую в эти две функции тождественно равны.

В самом деле, пусть а — упомянутая предельная точка. Тогда разность рассматрвваемых функций обращается в нуль в точках, находящихся как угодно близко к в и отличных от в, но по доказанному этого не может быть, если рассматриваемые функции не совпадают тождественно.

Формула (3.46) для коэффициентов ряда Тейлора может быть переписана на основании формулы (3.44) в виде

Оценка модулей коэффициентов рида Тейлора

Если на окружности Г модуль функции не превышает М, то, обозначая через радиус окружности Г и оценивая интеграл и формуле (3.46) по правилу оценки модули

интеграла (3.37), получим:

Таким образом, получаем неравенства

Из (3.48) непосредственно вытекает теорема Лиувилля: целая Дтшп (т. е. аналитическая на всей плоскости), ограниченвая на плоскости, есть постоянная. В самом деле, пусть всей плоскости

Тогда при любом имеем откуда в пределе при найдем Следрвательио,

Из теоремы Лиувилля легко вытекает основная теорема высшей добры: всякий полином, отличный от постоянной, имеет по крайней один нуль. В самом деле, если бы полином не имел вулей, была бы целой функцией. Так как известно, что то при , откуда видно, что будет ограниченной на всей плоскости. Но тогда по теореме Лиувилля , следовательно, что противоречит предположению.