§ 4. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ, ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Для любого комплексного числа определим функции

как суммы тех степенных рядов, в которые разлагались эти функции, когда переменное было действительным. Так как соответствующие степенные ряды были сходящимися на всей числовой прямой, то (в силу теоремы Абеля) они будут сходиться на всей плоскости комплексного переменного. Таким образом, полагаем по определению для любого ком плексного

Из этого определения видно, что для действительных

значений эти функции получают уже известные значения. Затем видно, что четные [т. е. обладающие свойством нечетные [т. е. обладающие свойством ].

Формулы Эйлера

При любом комплексном в силу (3.9), (3.12), (3.13) имеем

учитывая, что в абсолютно сходящемся ряде допустима любая группировка членов.

Таким образом, получаем формулу Эйлера

Заменяя на получим:

Почленное сложение и вычитание двух последних равенств дает:

откуда

Эти формулы также называются формулами Эйлера.

С помощью формулы Эйлера (3.14) тригонометрическая форма комплексного числа (3.1) принимает вид

где — модуль — аргумент

Выражение (3.15) называется показательной формой комплексного числа

Снизь между показательной и гиперболическими функциями

Имеем при любом комплексном в силу (3.9), (3.10), (3.11):

Заменяя на получим:

Почленное сложение и вычитание двух последних равенств дает:

откуда

Связь между трнгонометрнческнмн и гиперболическими функциими

Из (3.10). (3.12) следует:

и аналогично

Из (3.11), (3.13) следует:

и аналогично

Таким образом,

Формулы (3.17) также непосредственно получаются и (3.16).

Теорема сложения для показательной функции

Имеем, учитывая правило умножения абсолютно сходящихся рядов:

Но

(формула бинома Ньютона).

Следовательно,

Таким образом, доказана теорема сложения для показательной функции:

Отсюда видно, что показательная функция нигде в нуль не обращается. В самом деле, если бы то для любого но это нелепо, так как

Теорема сложения для тригонометрических функций

Учитывая (3.14), (3.18), (3.14), получаем:

Таким образом, доказаны теоремы сложения для косинуса и синуса:

Теоремы сложения для гиперболических функций

Из (3.17) и (3.19) находим:

Периодичность

Показательная функция имеет период . В самом деле,

Отсюда следует, что (как выражающаяся через имеют также период Далее, функция имеет период так как

следовательно, (как выражающиеся через ) имеют также период