§ 5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ С ЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ

Производящая функция системы функций

Рассмотрим систему функций (с любой обшей областью определения), пронумерованных с помощью всех целых чисел:

Составим ряд

где — комплексное переменное. Предположим, что при каждом (принадлежащем области определения рассматриваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости, содержащее внутри себя единичную окружность С (т. е. окружность с центром 0 и радиусом 1, рис. 60). В частности, это кольцо может представлять собой полную плоскость комплексного переменного без точек 0 и

Функция

лежит в области определения функций системы — внутри кольца сходимости, соответствующего рассматриваемому значению называется производящей функцией системы

Рис. 60.

Обратно, пусть задана функция , где пробегает некоторое множество, находится внутри некоторого кольца, вависящего от х, с центром 0 и содержащего внутри себя единичную окружность (в частности, эти кольца могут быть полной плоскостью комплексного переменного без точек 0 и Тогда, если при каждом х

аналитична относительно внутри соответствующего кольца, есть производящая функция некоторой системы функций. В самом деле, разложив при каждом х функцию в ряд Лорана по степеням

найдем, что система коэффициентов этого ряда будет искомой системой

Формулы для коэффициентов ряда Лорана (см. гл. III, § 15) позволяют выразить функции рассматриваемой системы через производящую функцию. Применяя эти формулы и преобразовывая затем интеграл вдоль единичной окружности С (комплексное параметрическое уравнение которой есгь в простой интеграл, получим:

Производящая функция системы бесселевых функций с целыми индексами

Покажем, что для системы бесселевых функций рода с целыми индексами производящая функция есть:

Имеем:

откуда после почленного перемножения этих равенств (умножаем абсолютно сходящиеся ряды, стоящие в правой

части, и соединяем в одну группу члены, содержащие одинаковые степени ) найдем:

(так как в предпоследней внутренней сумме были связаны зависимостью то мы могли положить , получив суммирование по одному индексу . В последней внутренней сумме суммирование производится по всем тем целым для которых следовательно, при и это будет при это будет Таким образом, во всех случаях внутренняя сумма есть в силу формул (4.20) и Итак,

но это и доказывает, что есть производящая функция для системы

Выведем некоторые следствия из формулы (4.33). Полагая в ней получим:

откуда после разделения действительной и мнимой части

[учитывая, что ]

Заменяя в (4.33) и на найдем:

Интегральное представление Jn(x)

Так как, по доказанному, при имеем то по формуле (4.32) получаем (используя в преобразованиях формулы Эйлера):

где принято во внимание, что есть четная функция от есть нечетная функция от Итак, доказано, что для любого целого числа

Формула (4.34) дает представление бесселевых функций с целым индексом в пиде определенного интеграла, зависящего параметра Эта формула называется интегральным представлением Бесселя для правая часть формулы называется интегралом Бесселя. В частности, при найдем: