Конформные отображения односвязных областей

Формулировка теоремы Римана — Каратеодори. Всякая несвязная область на полной плоскости, кроме полной плоскости и полной плоскости с выколотой точкой, может быть конформно отображена на внутренность единичного круга.

Доказательство этой теоремы здесь не приводится. Из теоремы Римана — Каратеодори следует, что всякие две односвязные области, отличные от полной плоскости и полной плоскости с выколотой точкой, могут быть конформно отображены одна на другую. В самом деле, если конформные отображения и х на внутренность единичного круга, то будет конформным отображением на Вопрос о том, насколько многообразны конформные отображения на легко решается, если будет доказана.

Лемма Шварца. Если внутри единичного круга аналитична, по модулю не превышает 1 и имеет нуль в точке О, то причем либо при либо где к постоянно и

Доказательство. Так как то аналитична при При где имеем следовательно, по принципу максимума модуля при к пределу при показывает, что при имеем Если в некоторой точке где, очевидно . В противном случае (а также в предыдущем

случае, когда имеем при Твким образом, либо где либо при что и требовалось доказать.

Следствие. Конформное отображение внутренности единичного круга на себя, сохраняющее точку О и направление действительной оси, есть тождественное преобразование.

В самом деле, селн ссть такое конформное отображение, то удовлетворяет условиям леммы Шварца, поэтому при Но обратное отображение также удовлетворяет условиям леммы Шварца, поэтому при до Полагая Здесь до получим при Сравнение полученных неравенств показывает, что при Следовательно, но лемме Шварца где Учитывая, что направление действительной оси сохраняется, иаходим , следовательно,

Из теоремы Римана — Каратеодори и предыдущего следствия леммы Шварца вытекает

Теорема. Пусть — односвязная область, отличная от полной плоскости и полной плоскости с выколотой точкой, — точка в — «направление», выходящее Тогда существует единственное конформное отображение на переводящее точку Р в точку «направление» в «направление» .

Доказательство. Пусть — конформное отображение области на внутренность единичного круга, существующее в силу теоремы Римана — Каратеодорн. Тогда точка и «направление» перейдут при этом в некоторую точку и некоторое «направление»

Пусть — линейное преобразование, переводящее единичную окружность в себя, точку Р, в точку «направление» в «направление» Тогда будет искомым конформным отображением на переводящим точку Р в точку в «направление» в «направление» Остается доказать единственность такого отображения.

Пусть — конформное отображение на внутренность единичною круга, переводящее гочку в точку О, «направленно» в «направление действительной оси (существование отображения доказано). Если теперь — какое-нибудь конформное отображение О на переводящее и в то будет конформным отображением внутренности единичного круга на себя, сохраняющим точку О и направление действительной осн. По следствию из левмы Шварца (тождественное преобразование), следовательно, что доказывает единственность

Замечание. Если области I) и ограничены окружностями (в широком смысле), то веикое конформное отображение на будет линейным.

В самом деле, пусть конформное отображение на Какая-нибудь точка М области выходящее из нес «направление» перейдут в некоторую точку области и выходящее из нее отправление» По мы видели, что линейное

преобразование которое, как в переводит в а так как такое конформное отображение единственно, то

Формулировка теоремы о соответствии границ при конформном отображении. Если есть конформное отображение области , ограниченной простым замкнутым контуром С, на область ограниченную простым замкнутым контуром Г, то функцию можно так доопределить в точках контура С, что станет непрерывной функцией в замкнутой области, ограниченной контуром С, и соответствие окажется взаимно однозначным отображением замкнутой области, ограниченной контуром С, на замкнутую область, ограниченною контуром Г.

Доказательство этой теоремы здесь не приводится. Таким образом, всякое конформное отображение области, ограниченной простым замкнутым контуром С, на область, ограниченную простым контуром Г, индуцирует определенное взаимно однозначное соответствие между точками самих контуров С и Г.