Упражнения

1. Для заданного ниже устройства подавления помех положим, что эталонный сигнал получают так, как показано на схеме. Какова оптимальная функция если независимый шум равен нулю?

2. Пусть в схеме упражнения , то и — независимые случайные процессы (белый шум каждый) с мощностями соответственно. Найдите рациональное выражение для оптимальной передаточной функции

3. Используя данные упражнения 2, найдите выражение для отношения сигнал-шум на выходе, отнесенного к отношению сигнал-шум на входе.

4. Выполните упражнение 3 для случаев, когда можно пренебречь составляющей , составляющей , и обеими составляющими,

5. В приведенной ниже схеме рассматривается такая же ситуация, но с и прохождением части сигнала на эталонный вход. Пусть — независимый белый шум с мощностью N.

Выразите оптимальную функцию через энергетический спектр входного сигнала

6. Для схем упражнения 5 выразите отношение сигнал-шум на выходе через энергетический спектр входного сигнала

7. Каково искажение сигнала в схеме упражнения 5?

8. Пусть в схеме упражнения — синусоидальный сигнал с 16 отсчетами за цикл, отношение сигнал-шум на входе равно 1. Используя адаптивный линейный сумматор с тремя весовыми коэффициентами и алгоритм наименьших квадратов с постройте экспериментальную обучающую кривую, усредняя 100 реализаций. По этой кривой оцените отношение сигнал-шум на выходе.

9. Выполните упражнение 8 для

10. Какова эквивалентная передаточная функция приведенной ниже схемы?

11. Рассмотрим схему подавления сетевого сигнала с частотой 60 Гц (рис. 12.14). Положим, что начальные значения весовых коэффициентов равны нулю и в системе начат процесс адаптации. Положим, что помеха с частотой 60 Гц остается стационарной. Как во времени меняется ее амплитуда от начала процесса адаптации? По возможности дайте количественный ответ.

12. Видоизмените схему на рис. 12.30 так, чтобы оба устройства подавления в системе подавления эхо-сигналов физически размещались на одном и том же конце телефонной линии. При этом считайте, что время распространения сигнала в одном направлении составляет

13. Положим, что в схеме на рис. 12.31 уровни шума и снгнала симметричны в обоих направлениях. Пусть частота отсчетов равна а адаптивные фильтры имеют по 128 весовых коэффициентов. Положим, что шумами абонентских линий можно пренебречь, мощности шумов линий связи равны 1, а мощность сигнала микрофона равна 5. Выберите значение так, чтобы скорость сходимости адаптивного процесса была максимальной, но при этом результирующее отношение сигнал-шум было не менее половины от максимально возможного. Для этого значения найдете тско. Можно считать, что все собственные значения равны.

14. Ниже приведена схема системы подавления, в которой допускается двусторонняя одновременная передача сигналов по протяженной линии связи, или коаксиальному кабелю, без модуляции несущих. Характеристическое сопротивление кабеля равно Полагаем, что выходное сопротивление каждого операционного усилителя равно нулю, а входное — бесконечности. Отражения на обоих концах передающей линии исключаются.

Объясните принцип работы адаптивного устройства подавления с одним весовым коэффициентом.

Вычислите оптимальное значение весового коэффициента w для неадаптивного устройства подавления. Каковы отрицательные стороны практической реализации неадаптивного устройства, несмотря на то, что оно реализуется проще, чем адаптивное? (Примечание:, обычно адаптивное устройство применяют на обоих концах кабеля.)

15. На основе системы упражнения 14 постройте систему с промежуточными усилителями, в которой допускается двусторонняя передача сигнала. Начните с приведенной ниже схемы и заполните пропущенные элементы. Примените рассмотренное в упражнении 14 адаптивное подавление.

16. Ниже приведена схема системы, применяемой для предсказания землетрясений. Датчик, геофон 1 (микрофон для приема шума вибраций земли) расположен недалеко от разрыва в Сан Андреас (Калифорния) для улавливания сигнала, состоящего из шума дробления скальных пород, который может служить признаком надвигающегося землетрясения. Кроме того, геофон 1 улавливает независимый сейсмический шум, мощный направленный шум автомобильного движения проходящего рядом шоссе в г. Сан Хосе и т. д. Второй датчик, геофон 2, расположен на прямой между геофоном 1 и г. Сан Хосе на достаточном удалении от разрыва, так что он не улавливает шум дробления скальных пород, но легко улавливает другие из перечисленных шумов. Вине-ровский фильтр осуществляет подавление шумов . Сан Хосе на выходе геофона 1, не увеличивая при этом существенно сейсмического шума земли. Выходные сигналы геофонов 1 и 2 содержат некоррелированные составляющие белого шума с дисперсией каждой По отсчетам автокорреляционная функция шума г. Сан Хосе, зарегистрированного обоими геофонами, равна Задержка распространения шума г. Сан Хосе от геофона 2 к геофону 1 составляет два периода отсчетов.

Постройте цифровой винеровский фильтр, минимизирующий уровень шума на выходе. Допускается построение некаузального фильтра.

Чему равен уровень шума на выходе при отсутствии сигнала и разъединенном винеровском фильтре?

17. Рассмотрим адаптивное устройство на рис. 12.39. Предположим, что входной сигнал состоит из двух синусоидальных — с 16 и 17 отсчетами за цикл — и аддитивного белого шума с отношением сигнал-шум 0,25. Для проведите 1000 итераций и затем постройте «мгновенный спектр», т. е. амплитуду передаточной функции фильтра. Используйте при этом алгоритм наименьших квадратов, а шум формируйте в соответствии с приложением А.

18. Модифицированное измерение мгновенного спектра, известное под названием «оценка максимальной энтропии спектра» [42, 43, 53—56], которое используется в адаптивном накопителе, описывается выражением

Мгновенный спектр ,

где — общая передаточная функция одношагового адаптивного устройства предсказания в схеме на рис. 12.39 от его входа до выхода. Множитель Ejmin обычно неизвестен, но эта функция часто более четко отражает спектральную линию, чем функция в схеме на рис. 12.39. Для выполните упражнение 17 и сравните полученные результаты.