Рабочая функция
В предыдущих главах, начиная с гл. 2, характеристики адаптивного линейного сумматора рассматривались с помощью рабочей функции представляющей собой зависимость СКО от некоторых параметров. Найдем теперь выражение для рабочей функции через передаточную функцию адаптивной системы и энергетический спектр сигнала.
Предположим, что имеется адаптивный трансверсальный фильтр с одним входом. На рис. 7.5 представлены нерекурсивная система с одним входом (т. е. адаптивный линейный сумматор с одним входом), ранее приведенная на рис. 2.2, а также полезный выходной сигнал 
и сигнал ошибки ей. Опустим здесь в весовых коэффициентах индекс k, поскольку динамические характеристики рассматриваться не будут.
Рабочая функция нерекурсивной системы, т. е. зависимость СКО от весовых коэффициентов определяется формулой (2.13)
(7.60)
где
Здесь вместо используемого в гл. 2 обозначения математического ожидания Е подставлена рассматриваемая в данной главе корреляционная функция 
Рис. 7.5. Схема адаптивного трансверсального фильтра с одним входом
Подставив (7.61) — (7.63) в (7.60), можно выразить рабочую функцию через корреляционные функции:
(7.64)
Имея выражение для рабочей функции нерекурсивной адаптивной системы, перейдем теперь к более общей схеме (рис. 7.6). Полагаем, что передаточная функция 
представляет собой функцию цифрового фильтра, приведенного на рис. 7.2. Будем считать в данном случае, что весовые коэффициенты (коэффициенты а и b на рис. 7.2) являются перестраиваемыми, поэтому 
является функцией этих весовых коэффициентов. Если все рекурсивные весовые коэффициенты (коэффициенты b) равны нулю, то схемы на рис. 7.5 и 7.6 эквивалентны. Подставляя в (7.64) выражения (7.56), (7.57) и (7.59), имеем
Это общее выражение для рабочей функции любой адаптивной системы с одним входом.
Можно показать, что для нерекурсивного фильтра, т. е. для адаптивного трансверсального фильтра, выражения (7.64) и (7.65) эквивалентны. В обозначениях рис. 7.5 имеем
Рис. 7.6. Схема адаптивного фильтра с одним входом
Подставляя это нерекурсивное соотношение в (7.65), получаем
Для вывода последнего выражения здесь использовано соотношение (7.58). Таким образом, доказано, что (7.65) эквивалентно (7.64) для адаптивного линейного сумматора и является общим выражением для рабочей функции адаптивной системы с одним входом.
