Собственные значения и собственные векторы корреляционной матрицы входного сигнала

В соответствии с (2.11) R — симметрическая матрица, и . Следовательно, собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, должны быть ортогональны, т. е. для любой пары векторов. Это легко показать. Пусть — два различных собственных значения. Тогда

и

Транспонируем (3.6) и умножим обе равенства на справа:

Далее умножим обе части равенства (3-7) на слева:

Теперь, имея в виду, что и сравнивая (3.8) и получаем

Поскольку по предположению ,

и поэтому собственные векторы, соответствующие и ортогональны.

Так как R — не только симметрическая, но и действительная матрица (все ее элементы — действительные числа), все собственные значения матрицы должны быть действительными. Это можно показать методом от противного. Предположим, что — комплексное собственное значение матрицы R.

Характеристическое уравнение матрицы R (3.2) представляет собой полином переменной X степени L+1, который приравнивается нулю. Если комплексное число, то комплексно-сопряженное с ним значение также должно быть собственным, поскольку комплексные корни такого полинома являются парой комплексно-сопряженных чисел. Более того, если — комплексное число, то соответствующий ему собственный вектор также должен быть комплексным, поскольку R — матрица действительных чисел, что следует из равенства (3.6). Кроме того, связанный с собственный вектор должен быть комплексно-сопряженным с вектором Поскольку предполагалось комплексным числом, оно не может быть равно числу, комплексно-сопряженному с ним, т. е. . Так как не равны, соответствующие собственные векторы должны быть ортогональны, т. е. Но это невозможно, так как скалярное произведение комплексного и комплексно-сопряженного с ним векторов, равное сумме квадратов их компонентов, должно быть положительным числом. Следовательно, предположение, что является комплексным, приводит к противоречию, и все собственные значения корреляционной матрицы входного сигнала должны быть действительными.

Еще один важный результат теории матриц состоит в том, что если собственное значение имеет кратность , то существует соответствующих линейно независимых собственных векторов. При необходимости их всегда можно построить так, чтобы они были взаимно ортогональны и ортогональны всем другим собственным векторам.

При построении формальной матрицы Q удобно нормировать собственные векторы, чтобы они имели единичные амплитуды. Только что показано, что собственные векторы для различных собственных значений ортогональны. Для кратных собственных значений выберем такие соответствующие собственные векторы, чтобы все они также были ортогональны. Тогда все собственных вектора, представляющие собой столбцы матрицы Q, являются взаимно ортогональными и нормированными, и говорят, что матрица Q — ортонормированная. С этого момента будем считать формальную матрицу Q ортонормированной. Тогда можно записать

и

Следовательно, обратная матрица всегда существует.

Наконец, можно показать, что собственные значения корреляционной матрицы входного сигнала всегда неотрицательны. Как отмечалось в гл. 2 при обсуждении соотношения (2.33), матрица R в общем случае является положительно полуопределенной и, таким образом,

Кроме того, подставляя (3.13) в (3.15), имеем

Вектор V представляет собой отклонение вектора весовых коэффициентов от оптимального, и его можно выбрать таким, чтобы он был любым вектором в (3.14). Пусть вектор V равен последовательно каждому из столбцов матрицы Q, т. е. равен по порядку . Тогда (3.14) выполняется для каждого из этих случаев, а все L+1 случаи можно описать соотношением

Подставляя (3.15) вместо R в (3.16), имеем

Если теперь подставить сюда формулу (3.13), то

Основными выводами данного раздела являются следующие:

1. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям матрицы R, взаимно ортогональны.

2. Все собственные значения матрицы R — действительные неотрицательные числа.

3. Матрицу собственных векторов Q можно нормировать (привести к ортонормированной) так, чтобы