Глава 10. ОБРАТНОЕ АДАПТИВНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

В гл. 9 в основном рассмотрены методы адаптивного моделирования и идентификации систем и их применение для решения некоторых практических задач. В данной главе рассматривается другой вид моделирования — обратное моделирование и приводятся примеры, иллюстрирующие применение этого метода при решении практических задач. Обратная модель некоторой системы с неизвестной передаточной функцией представляет собой систему с передаточной функцией, которая в некотором смысле является наилучшим приближением функции, обратной неизвестной передаточной функции. Иногда импульсный отклик обратной модели содержит задержку, которая специально вводится для лучшего приближения.

Чтобы понять важность обратного моделирования, лучше всего показать его полезные приложения. Одним из таких приложений является обработка речевых сигналов, о которой говорилось в гл. 8. В данной главе рассматриваются приложения к системам связи и синтезу цифровых фильтров. Кроме того, возможно применение этих методов в системах управления, в которых обратная модель неизвестной системы используется для формирования сигналов управления этой системой. Если характеристики системы неизвестны или медленно меняются, необходимо вводить адаптацию. Более подробно приложения к системам управления рассматриваются в гл. 11. Кроме того, в [18, 31] рассматриваются другие приложения этих методов.

Из приложений к системам связи в данной главе обсуждаются такие дисперсионные каналы, как телефонные и радиоканалы. Дисперсионным является канал, в котором сигналы на различных частотах распространяются с различными скоростями или с различными задержками.

Для описания этих понятий предположим, что канал имеет передаточную функцию , где — нормированная частота. При умножении на в канал вводится задержка на временных шагов. В более общем случае при умножении на , где — функция от со, в канал вводите» групповая задержка на временных шагов [1]. В физическом канале — акустическом или радиолинии — суммарная или общая групповая задержка равна протяженности канала, деленной на скорость распространения сигнала. Говорят, что канал является дисперсионным, если групповая задержка представляет собой непостоянную функцию частоты (т. е. если ) [2].

В дисперсионном канале для его «выравнивания», т. е. для создания частотной и фазовой характеристик в полосе передачи сигнала, обратных характеристикам канала, и тем самым для компенсации дисперсии, на приемном конце можно поместить адаптивный фильтр. На вход приемника поступает сигнал, представляющий собой свертку переданного сигнала и импульсного отклика канала. Обеляющий фильтр на входе приемника компенсирует характеристику канала и восстанавливает первоначальную форму сигнала. При неизвестных или медленно меняющихся во времени характеристиках канала снова необходимо вводить адаптацию.

Общее описание обратного моделирования

На рис. 10.1, а показан один из способов проведения обратного моделирования. Наблюдение неизвестной передаточной функций неизвестной системы осуществляется по входному сигналу . Внутренний шум неизвестной системы представляется аддитивным шумом на ее выходе. Выходной зашумленный сигнал неизвестной системы подается на вход адаптивного фильтра. В результате процесса адаптации сигнал на выходе адаптивного фильтра является наилучшим (по критерию минимума СКО) приближением сигнала на входе неизвестной системы. Как и в предыдущих рассуждениях, в общем случае минимальное значение СКО зависит от числа весовых коэффициентов, поэтому в некоторых случаях минимальное значение СКО можно снизить, увеличивая число весовых коэффициентов адаптивной системы.

Предположим в данном случае, что шум равен нулю и в результате процесса адаптации значение ошибки очень мало. Пусть также мало значение для метода наименьших квадратов (см. гл. 6); тогда процесс сходимости является медленным, и относительным средним значением СКО можно пренебречь. В этом случае импульсная характеристика адаптивного фильтра по существу не меняется во времени. Его передаточная функция обратна передаточной функции неизвестной системы.

Рис. 10.1. Виды адаптивного обратного моделирования: без задержки (а) и с задержкой (б)

Передаточная функция последовательно включенных неизвестной системы и адаптивного фильтра в установившемся режиме равна единице, а импульсная характеристика — единичному импульсу без задержки.

Следует отметить три фактора, ограничивающие возможность построения обратной модели с малым значением СКО.

1. Наличие шума неизвестной системы что приводит к возникновению шума на выходе адаптивного обратного фильтра. Кроме того, шум влияет на импульсную характеристику адаптивного обратного фильтра в установившемся режиме. Эта импульсная характеристика является оптимальной в смысле минимума СКО при совместном решении задачи подавления шума я и построения обратной модели неизвестной системы. При наличии шума передаточная функция адаптивного фильтра в установившемся режиме в общем случае не является обратной к передаточной функции неизвестной системы.

2. Вообще неизвестная система является каузальной, и сигнал задерживается при прохождении через физическую систему. При таких условиях необходимо, чтобы обратный фильтр был устройством с предсказанием, а таким устройством может приближенно быть только каузальный в статистическом смысле адаптивный фильтр.

Во многих приложениях допустима обратная система с задержкой, которая исключает необходимость предсказания для адаптивного фильтра. Этот случай представлен на схеме рис. 10.1, б. Включение задержки на А отсчетов позволяет намного уменьшить минимальное значение СКО и приводит к тому, что импульсная характеристика последовательно включенных неизвестной системы и адаптивного фильтра в установившемся режиме приближенно представляет собой импульс с задержкой А. Кроме того, обратная модель с задержкой имеет свои преимущества в случаях, когда передаточная функция неизвестной системы имеет нули за пределами круга единичного радиуса на z-плоскости. Тогда за пределами круга единичного радиуса располагаются полюса обратной передаточной функции. Для того чтобы такая обратная система была устойчивой, необходимо чтобы импульсная характеристика была левосторонней по оси времени (т. е. некаузальной). Однако некаузальную импульсную характеристику с задержкой можно приближенно представить сдвинутой по оси времени каузальной импульсной характеристикой.

3. Адаптивный фильтр, реализованный в виде адаптивного трансверсального фильтра, обладает конечной импульсной характеристикой. В этом случае возможна только приближенная реализация импульсной характеристики оптимальной обратной модели для системы с бесконечной импульсной характеристикой.

При отсутствии шума обратные фильтры эффективно реализуются, если достаточно число весовых коэффициентов и правильно выбрана задержка А. Вообще выбор задержки не является критичным, и если в конкретном приложении ее наличие дает какие-либо преимущества, то можно выбирать А равной половине времени задержки адаптивного фильтра. Кроме того, оказывается, что при построении обратных систем по схеме рис. 10.1, б эффективными являются намного меньшие значения задержек, обеспечивающие малое значение СКО. При наличии шума на выбор А оказывают некоторое влияние его свойства. Помимо этого, если шум имеет большую амплитуду, то это приводит к искажению оптимального вектора весовых коэффициентов обратного фильтра.

Рассмотрим теперь некоторые конкретные задачи оптимального моделирования. При этом вывод оптимальных векторов весовых коэффициентов осуществляется для идеального функционирования, поскольку в данном случае не учитывается относительное среднее значение СКО. Такое функционирование может быть достигнуто при уменьшении скорости адаптации в пределе до нуля.

Обратимся к схеме на рис. 10.1, б, для которой — передаточная функция неизвестной системы, — автокорреляционная функция входного сигнала — энергетический спектр (7.42), — передаточная функция обратного фильтра с задержкой.

Предположим, что описывает нерекурсивный адаптивный фильтр с бесконечной двусторонней импульсной характеристикой. Тогда из (7.67) рабочая функция

Как и ранее, оптимальный вектор весовых коэффициентов W найдем, приравнивания нулю производные (10.1) по весовым коэффициентам. Таким образом,

Следовательно,

Для вывода (10.2) из (10.1) использованы соотношения (7.39) и (7.40), Здесь снова обозначает оптимальное значение весового коэффициента.

Соотношение (10.2) можно преобразовать аналогично тому, как из (7.3) при получено (7.8). Свертка левой части (10.2) является произведением, поэтому z-преобразование оптимального вектора весовых коэффициентов

Таким образом, z-преобразование оптимальных весовых коэффициентов равно отношению взаимного энергетического спектра сигналов х и d к энергетическому спектру входного сигнала адаптивной модели х.

Проанализируем теперь спектры (10.3) для схемы на рис. 10.1, б. Из (7.48) энергетический спектр входного сигнала

Здесь принято, что шум неизвестной системы и входной сигнал являются независимыми. Взаимный спектр в (10.3) можно найти следующим образом. Из (7.47) имеем

где — передаточная функция от d к Из рис. 10.1, б видно, что задержка не меняет мощность сигнала, поэтому

Из (7.44) следует, что получено из заменой 2 на обратную переменную . Поэтому, подставляя (10.6) в (10.5) и используя (7.44), имеем

Заметим, что поэтому .

Тогда из (10.3), (10.4) и (10.7) z-преобразование оптимального вектора весовых коэффициентов

Представляет интерес случай обратного моделирования системы без шума, т. е. при равном нулю. В этом случае, поскольку имеем

Как и следовало ожидать, в соответствии с полученным результатом необходимо, чтобы оптимальная передаточная функция была равна обратной передаточной функции последовательно включенных неизвестной системы и задержки А. В этом случае минимальное значение СКО равно нулю.

Из следует, что при наличии шума нельзя достичь нулевой СКО и построить точную обратную систему. Пусть, например, — передаточная функция неизвестной системы. Положим, что входной сигнал неизвестной системы — белый шум единичной мощности. Как и в (7.34), имеем

(10.10)

Тогда шум в схеме на рис. 10.1.6 не является белым шумом, а имеет спектр, определяемый передаточной функцией Это означает, что

(10.11)

где — полная мощность белого шума на входе системы (см. упражнение 1).

Подставляя теперь (10.10) и (10.11) в (10.8), получаем более конкретное выражение -преобразования оптимальных весовых коэффициентов:

(10.12)

Поскольку истинная обратная передаточная функция с задержкой определяется выражением (10.12) при ясно, что оптимальные весовые коэффициенты отличаются только масштабным множителем.

Из (7.65) можно показать, что при наличии шума и весовых коэффициентах, задаваемых соотношением (10.12), минимальное значение СКО не равно нулю. Для этого подставим оптимальную передаточную функцию в (7.65) и получим

(10.13)

Здесь подставлены (10.12), (10.7) с заменой z на и Ф (10.4). Используя также выражения (10.10) и (10.11), окончательно получаем

Подробный вывод соотношений (10.13) и (10.14) проводится в упражнении 4. Как следует из полученного результата, оптимальная обратная модель приводит к нулевой СКО только при нулевой мощности шума .

Очевидно, если шум неизвестной системы отличается от (10.11), то в большинстве случаев это приводит к другому виду , существенно отличающемуся от (10.12). Выбор оптимальных весовых коэффициентов в значительной мере зависит от шума и во многих практических ситуациях из-за шума неизвестной системы обратная модель с этими коэффициентами становится неэффективной.

Из (10.9) для системы без шума видно, что соответствует нерекурсивному фильтру только тогда, когда не имеет нулей. Если передаточная функция имеет нули, то полюсы функции можно лишь приближенно представить адаптивным трансверсальным фильтром конечной длины. Двусторонний оптимальный БИХ-фильтр можно аппроксимировать каузальным адаптивным фильтром конечной длины при правильно выбранной задержке Д и достаточно большой его размерности L.