Некоторые теоретические примеры

Рассмотрим теперь три примера адаптивного обратного моделирования, используя конкретные неизвестные системы на рис. 10.1. Главная цель этих примеров — показать некоторые из возникающих задач, которые не встречались в приложениях адаптивного моделирования, рассмотренных в гл. 9, а именно: задачи каузальности и определения оптимальной задержки.

Первый пример. Будем считать, что шум неизвестной системы равен нулю, а ее передаточная функция задана соотношением

(10.15)

Рассмотрим сначала схему на рис. 10.1, а с нулевой задержкой. Для системы без шума идеальная обратная передаточная функция с учетом (10.15)

(10.16)

Поскольку идеальная передаточная функция имеет полюс внутри и полюс вне круга единичного радиуса, то для того чтобы обратный фильтр был устойчивым, его импульсная характеристика должна быть двусторонней. Как отмечено в гл. 7 (в частности, в упражнении 26), если дробное слагаемое имеет полюс за пределами круга единичного радиуса, то ему можно поставить в соответствие левостороннюю составляющую импульсной характеристики, представляющую устойчивый фильтр. Аналогично этому слагаемое с полюсом внутри этого круга должно соответствовать правосторонней составляющей импульсной характеристики.

Следовательно, идеальная импульсная характеристика которая является обратным -преобразовапием передаточной функции представляет собой последовательность, задаваемую соотношением

Равенство (10.17) реализуется, как отмечено выше, при бесконечном числе весовых коэффициентов. Приближенная реализация (10.17) фильтром с конечной импульсной характеристикой, который минимизирует СКО, приводит в общем случае к другому варианту равенства (10.17). На рис. 10.2 приведены некоторые варианты реализаций схемы на рис. 10.1, б с помощью адаптивного КИХ-фильтра, имеющего 21 весовой коэффициент, при использовании метода наименьших квадратов. Наличие задержки дает дополнительный перестраиваемый параметр. Ее выбор в значительной мере влияет на достижимое минимальное значение СКО и в этом смысле — на качество обратного фильтра. На рис. 10.3 приведена зависимость минимального значения СКО от задержки . Это значение велико при нулевой задержке, уменьшается до минимума при , а затем снова возрастает по мере ее увеличения.

Рис. 10.2. Импульсные характеристики оптимальной в среднеквадратическом смысле адаптивной обратной модели для различных значений задержки (первый пример)

Рис. 10.3. Зависимость минимального значения СКО от задержки при Оптимальная задержка лежит около значения (первый пример)

Рис. 10.4. Импульсная характеристика неизвестной системы (второй пример)

Видно, что выбор точного значения задержки некритичен и вполне подтверждается правило выбора А, равной половине времени задержки адаптивного фильтра.

Из рис. 10.2 следует, что оптимальная конечная импульсная характеристика для приближается к характеристике (10.17), сдвинутой на 8 временных шагов. Поскольку использовано адекватное общее число весовых коэффициентов, усечение двусторонней импульсной характеристики незначительно влияет на форму оптимальной импульсной характеристики и соответствующие другие характеристики. Такая же форма сохраняется при изменении от 5 до 6, при этом соответствующие задержки имеет импульсная характеристика. При усекаются фрагменты импульсной характеристики и меняется форма оптимальной импульсной характеристики. Существенные изменения происходят при уменьшении от 1 до 0, при этом резко возрастает минимальное значение СКО. При больших значениях (более 16) возникает усечение справа, и снова резко возрастает минимальное значение СКО. Приведенные на рис. 10.2 импульсные характеристики оптимальных БИХ-фильтров можно получить аналитически из (10.13). Кривая на рис. 10.3 характерна для многих других примеров.

Второй пример. На рис. 10.4 показана импульсная характеристика неизвестной системы более сложной структуры с 41 весовым коэффициентом, которая не имеет конкретного математического описания. Аналогично первому примеру обратный фильтр с весовым коэффициентом получен с помощью адаптивной фильтрации методом наименьших квадратов. При этом входным сигналом является белый шум. Результаты приведены на рис. 10.5. Получено, что оптимальная задержка . Наименьшее значение составляет около 1% от мощности входного сигнала.

На рис. 10.6 показана импульсная характеристика последовательно включенных неизвестной системы с 41 весовым коэффициентом и обратного для нее фильтра с 21 весовым коэффициентом для

Рис. 10.5. Импульсная характеристика оптимальной обратной модели при (второй пример)

Как и следовало ожидать, отклик равен единичному импульсу с началом в точке . Однако при этом имеются небольшие боковые выбросы.

Третий пример. Выбрана неизвестная система с 41 весовым коэффициентом, импульсная характеристика которой приведена на рис. 10.7. Для этой системы реализована обратная модель с 101 весовым коэффициентом, и результаты для оптимизированного значения представлены на рис. 10.8. На рис. 10.9 показана общая импульсная характеристика неизвестной и обратной к ней системы, которая приближенно равна единичному импульсу с началом в точке с небольшими боковыми выбросами. При необходимости можно уменьшить боковые выбросы и минимальную СКО, если увеличить число весовых коэффициентов обратного фильтра.

На рис. 10.10 показаны зависимости минимального значения СКО от задержки при числе весовых коэффициентов 41, 81, 101.

Рис. 10.6. Импульсная характеристика последовательно включенных неизвестной системы с 41 весовым коэффициентом и оптимальной обратной модели с 21 весовым коэффициентом при (второй пример)

Рис. 10.7. Импульсная характеристика неизвестной системы (третий пример)

Рис. 10.8. Импульсная характеристика оптимальной обратной модели при (третий пример)

Для каждого случая можно найти оптимальную задержку , хотя следует отметить, что малые значения минимальной СКО обеспечиваются в широком диапазоне изменения . Часто выбор значения с точки зрения минимизации СКО является некритичным. Во всех случаях, приведенных на рис. 10.10, при , равной половине задержки адаптивного фильтра, результат не является оптимальным, но оказывается вполне удовлетворительным. Причина этого ясна из рис. 10.1, б. Если сама неизвестная система обладает существенной задержкой, то оптимальное значение превышает но его выбор некритичен при большом L.

Рис. 10.9. Импульсная характеристика последовательно включенных неизвестной системы с 41 весовым коэффициентом и оптимальной обратной модели со 101 весовым коэффициентом при (третий пример)

Рис. 10.10. Зависимости минимального значения СКО от задержки для трех значений размерности адаптивной модели (третий пример)

Рис. 10.11. Зависимость минимального значения СКО от размера обратного фильтра при близких к оптимальным значениях задержки

Наконец, для оптимальной в каждом случае на рис. 10.11 приведена зависимость, показывающая, как при увеличении числа весовых коэффициентов адаптивного фильтра уменьшается значение минимальной СКО.

Методы обратного моделирования очень эффективны и имеют много важных приложений. Далее рассматривается их применение в системах связи и синтезе цифровых фильтров, а в гл. 11 — в системах управления.