Адаптивные фильтры ортогональных сигналов

В предыдущем подразделе рассмотрено, как можно для минимизации конечной ошибки предсказания независимо корректировать весовые коэффициенты адаптивной решетки, используя в соответствии с (8.106) промежуточные сигналы. Вследствие этого свойства сигналы внутри решетки являются ортогональными. В каждой ячейке сигнал ошибки некоррелирован с другими сигналами ошибки. В данном разделе обсуждаются аналогичные адаптивные фильтры ортогональных сигналов.

Такие адаптивные структуры изучаются для того, чтобы сохранить простоту метода наименьших квадратов и в то же время использовать некоторые преимущества таких более сложных алгоритмов, как идеальный алгоритм и алгоритм последовательной регрессии. Из всех алгоритмов метод наименьших квадратов требует меньше всего вычислений на один цикл итераций и наименьший объем памяти. Более того, он легче описывается математически и является простейшим с точки зрения реализации и понимания. В гл. 6 рассмотрено его использование для коррекции весовых коэффициентов трансверсального фильтра с целью минимизации СКО. Однако было показано, что в случаях, когда собственные значения существенно различаются, для других алгоритмов процесс адаптации часто может проходить быстрее, чем для метода наименьших квадратов.

Для заданного уровня относительного среднего значения СКО при большом разбросе собственных значений применение метода Ньютона или какого-либо другого способа ортогонализации входных сигналов относительно адаптивных весовых коэффициентов может привести к более быстрой адаптации, чем использование одного только метода наименьших квадратов. Преимущества введения ортогонализации рассматриваются в [36].

Здесь описываются два способа ортогонализации, предназначенной для обработки сигналов перед их окончательным суммированием с весовыми коэффициентами. Один из этих способов основан «а применении решетчатых фильтров, в другом - используется дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

Рис. 8.23. Схема адаптивного фильтра с разложением на ортогональные сигналы

Другие способы [37], использующие процедуру ортогонализации Грама — Шмидта, находят применение в адаптивных антеннах.

Первый из рассматриваемых способов ортогонализации, основанный на ДПФ, предложен в [38]. Схема адаптивного фильтра для этого способа приведена на рис. 8.23. Входной сигнал подается на элементы задержки с отводами, соединенными с вычислителем ДПФ с многими входами и многими выходами, который описан в гл. 7. При поступлении каждого нового отсчета входного сигнала данные продвигаются в линии задержки на один шаг и осуществляется вычисление нового ДПФ. Каждый из входных сигналов ДПФ соответствует заданной полосе частот. Можно сказать, что используемое таким образом ДПФ реализует набор полосовых фильтров, равномерно заполняющих полосу частот от нуля до частоты, равной половине частоты отсчета.

Выходные сигналы ДПФ на рис. 8.23 представляют собой дискретные комплексные функции номера отсчета к. Они являются слабокоррелированными, поскольку находятся в различных частотных полосах. Эти сигналы не являются полностью некоррелированными из-за того, что полосовые фильтры ДПФ частично перекрывают некоторые частотные составляющие сигналов [6].

В схеме на рис. 8.23 комплексные выходные сигналы вычислителя ДПФ умножаются на комплексные адаптивные весовые коэффициенты, в результате чего формируются также комплексные величины . Предполагается, что действительный полезный сигнал представляет собой комплексный сигнал, мнимая часть которого равна нулю. Следовательно, вычисляемый в процессе адаптации сигнал ошибки также является комплексным.

Хотя — комплексная величина, ее мнимая часть в общем случае мала, поскольку полезный отклик является действительной величиной. Адаптация весовых коэффициентов осуществляется в соответствии с алгоритмом наименьших квадратов в комплексной форме [39]:

Здесь черта над обозначает комплексно-сопряженную величину. В соответствии с этим алгоритмом вектор весовых коэффициентов сходится в среднем к оптимальному вектору, при котором минимизируется сумма средних квадратов действительной и мнимой частей сигнала ошибки.

Положим, например, что входной сигнал на рис. 8.23 представляет собой чистый синусоидальный сигнал, содержащий N отсчетов за период. Тогда единственный ненулевой сигнал вычислителя ДПФ является входным сигналом умножителя на коэффициент представляющий собой синусоидальный сигнал с заданными амплитудой и фазой, изменяющейся по линейному закону. Предположим далее, что полезный выходной отклик является синусоидальным сигналом и имеет ту же частоту, что и входной сигнал. Тогда для сведения сигнала ошибки к нулю необходимо, чтобы весовой коэффициент сходился к постоянной комплексной величине, при которой амплитуда и фаза действительного выходного сигнала равны амплитуде и фазе полезного отклика , а все остальные весовые коэффициенты сходились к нулю.

Можно повышать эффективность процесса адаптации в схеме на рис. 8.23, если нормировать каждый из выходных сигналов вычислителя ДПФ, с тем чтобы они имели равные уровни мощности. Для этого необходимо ввести коэффициенты, обратно пропорциональные квадратному корню из среднего значения мощности соответствующего выходного сигнала вычислителя ДПФ. Полученный в результате этого алгоритм является очень эффективным для случая, когда собственные значения существенно отпичаются друг от друга.

Импульсная характеристика обычного трансверсального фильтра непосредственно определяется весовыми коэффициентами отводов. Кроме того, для схемы на рис.. 8.23, осуществляющей ортогонализацию в частотной области, весовые коэффициенты непосредственно определяют как амплитудную, так и фазовую частотные характеристики.

В схему ортогонализации на рис. 8.23 включено устройство предварительной обработки с заданным алгоритмом работы в виде вычислителя ДПФ. На рис. 8.24 представлена схема ортогонализации, в которой используется адаптивный решетчатый фильтр. Интересно отметить, что процесс адаптации весовых коэффициентов к решетки зависит только от входного сигнала и не зависит от полезного отклика, а процесс адаптации выходных весовых коэффициентов w определяется как входным сигналом, так и полезным откликом.

Рис. 8.24. Схема адаптивного трансверсального фильтра, реализующего алгоритм Гриффитса, в виде решетки с разложением на ортогональные сигналы

В соответствии с [23] адаптация всех весовых коэффициентов может проводиться методом наименьших квадратов.

При сходимости весовых коэффициентов решетки к к оптимальным, при которых соответствующие сигналы ошибки минимизируются по среднему квадрату, выходные сигналы решетки (или входные сигналы, умноженные на w) являются ортогональными и, следовательно, как показано выше, некоррелированными.

Адаптацию весовых коэффициентов w можно легко осуществить методом наименьших квадратов, при этом выходной сигнал системы является наилучшим среднеквадратическим приближением полезного отклика .

С теоретической точки зрения весовые коэффициенты решетки на рис. 8.24 должны настраиваться так же, как в схеме на рис. 8.17, т. е. и т. д. Однако из-за шумовой составляющей весовых коэффициентов, возникающей в процессе адаптации, эта настройка будет неточной. Точную настройку можно поддерживать, если начинать адаптивный процесс с настроенными весовыми коэффициентами и на каждом цикле адаптации усреднять соответствующие поправки.

В работах [40—46] предложены другие алгоритмы адаптации коэффициентов к и w для схемы на рис. 8.24. При использовании статистических данных о входном сигнале эти алгоритмы так же эффективны, как метод Ньютона. В [23] подчеркивается, что для метода наименьших квадратов важно осуществлять нормирование мощности (или выбирать соответствующие значения при адаптации коэффициентов к и w методом наименьших квадратов). Из-за изменений весовых коэффициентов предыдущих ячеек решетки сигналы в решетчатой структуре являются нестационарными (даже если стационарны входной сигнал и полезный сигнал поэтому оценки мощности различных входных сигналов устройств умножения на весовой коэффициент необходимо находить методом скользящего окна, аналогичным методу экспоненциального окна в (8.121). Подобный метод экспоненциального окна использован в [47].

Алгоритмы ортогонализации и их приложения являются предметом исследования в настоящее время. Оказывается, что они эффективны в случаях, когда требуется быстрая адаптация с переменными параметрами, а собственные значения входного сигнала сильно различаются. Однако во многих случаях адаптивная решетка не имеет существенных преимуществ перед трансверсальным фильтром, который адаптируется по методу наименьших квадратов, например для некоторых видов нестационарных сигналов, рассматриваемых в [36].