Примеры рабочих функций

В этом подразделе рассматриваются два примера рабочей функции на основе соотношения (7.65). В качестве первого примера возьмем адаптивный трансверсальный фильтр, приведенный на рис. 2.6. В этой системе имеется два весовых коэффициента . Входной и полезный сигналы

Корреляционные функции, определяемые по существу выражениями (2.20) и (2.21),

Отсюда

(7.70)

Здесь важно то, что записаны в виде сумм, поскольку эти суммы не являются сходящимися рядами, как это было выше в разделе, посвященном право- и левосторонним последовательностям.

В общем случае, когда корреляционная функция является периодической, считают, что энергетический спектр равен нулю всюду, за исключением единственной частоты, на которой он принимает бесконечное значение, и точно представляется суммой (7.70).

Подставляя (7.70) в (7.65), имеем рабочую функцию

Таким образом, снова получена рабочая функция (2.24), которая для N = 5 отсчетов за период приведена на рис. 2.5. Отметим, что эта функция является квадратичной по переменным и обладает единственным глобальным минимумом.

В качестве второго примера рассмотрим систему, приведенную на рис. 7.7. Она принадлежит к системам идентификации или моделирования, в которых входной сигнал является широкополосным (в данном случае белым шумом) и подается одновременно на входы адаптивного фильтра и идентифицируемой системы. Полезный сигнал является выходным сигналом идентифицируемой системы, поэтому, когда минимизируется , адаптивный фильтр становится наилучшеп, возможной в пределах регулируемых параметров, ее моделью.

Рис. 7.7. Примеры схемы рекурсивного адаптивного фильтра

Отметим, что адаптивный фильтр, представленный на рис. 7.2, при является рекурсивным из-за наличия коэффициента обратной связи . На основании рис. 7.7 и в соответствии с (7.8) передаточная функция этого адаптивного фильтра

Входную последовательность на рис. 7.7 назовем белым шумом и зададим следующие ее свойства:

Отметим, что (7.74) следует из (7.73), так как является z-преобразованием от в соответствии с (7.42). Здесь для простоты примем, что .

При можно найти из выражений (7.55) и (7.44), заменив в них индексы на индексы, соответствующие рис. 7.7:

Более того, из (7.59), (7.57) — (7.28)

Теперь, когда найдены все выражения, необходимые для вычисления рабочей функции на основании (7.65), имеем

В этом интеграле функция имеет полюсы в точках . Как отмечено выше, с точки зрения устойчивости коэффициент должен быть меньше 1, поэтому полюс находится вне круга единичного радиуса. В соответствии с (7.31) интеграл в (7.77) равен сумме остатков в точках . Из (7.32) и (7.34) находим

В первом равенстве второе слагаемое есть остаток при , а третье слагаемое равно остатку при

Итак, выражение (7.78) описывает рабочую функцию для второго примера, которая представлена на рис. 7.8.

Рис. 7.8. Рабочая функция системы, приведенной на рис. 7.7

Отметим, что в отличие от первого примера данная функция является квадратичной по переменной , но не является ни квадратичной, ни унимодальной по переменной . Таким образом, в общем случае процесс адаптации по является непосредственным, а по — нет. Выбор за пределами области устойчивости приводит к тому, что становится бесконечной. В автоматической системе адаптации по возникают две задачи: устойчивости адаптивного алгоритма и устойчивости фильтра, подвергающегося адаптации.