Примеры рабочих функций
В этом подразделе рассматриваются два примера рабочей функции на основе соотношения (7.65). В качестве первого примера возьмем адаптивный трансверсальный фильтр, приведенный на рис. 2.6. В этой системе имеется два весовых коэффициента
. Входной и полезный сигналы
Корреляционные функции, определяемые по существу выражениями (2.20) и (2.21),
Отсюда
(7.70)
Здесь важно то, что
записаны в виде сумм, поскольку эти суммы не являются сходящимися рядами, как это было выше в разделе, посвященном право- и левосторонним последовательностям.
В общем случае, когда корреляционная функция является периодической, считают, что энергетический спектр равен нулю всюду, за исключением единственной частоты, на которой он принимает бесконечное значение, и точно представляется суммой (7.70).
Подставляя (7.70) в (7.65), имеем рабочую функцию
Таким образом, снова получена рабочая функция (2.24), которая для N = 5 отсчетов за период приведена на рис. 2.5. Отметим, что эта функция является квадратичной по переменным
и обладает единственным глобальным минимумом.
В качестве второго примера рассмотрим систему, приведенную на рис. 7.7. Она принадлежит к системам идентификации или моделирования, в которых входной сигнал
является широкополосным (в данном случае белым шумом) и подается одновременно на входы адаптивного фильтра и идентифицируемой системы. Полезный сигнал
является выходным сигналом идентифицируемой системы, поэтому, когда минимизируется
, адаптивный фильтр становится наилучшеп, возможной в пределах регулируемых параметров, ее моделью.
Рис. 7.7. Примеры схемы рекурсивного адаптивного фильтра
Отметим, что адаптивный фильтр, представленный на рис. 7.2, при
является рекурсивным из-за наличия коэффициента обратной связи
. На основании рис. 7.7 и в соответствии с (7.8) передаточная функция этого адаптивного фильтра
Входную последовательность
на рис. 7.7 назовем белым шумом и зададим следующие ее свойства:
Отметим, что (7.74) следует из (7.73), так как
является z-преобразованием от
в соответствии с (7.42). Здесь для простоты примем, что
.
При
можно найти
из выражений (7.55) и (7.44), заменив в них индексы на индексы, соответствующие рис. 7.7:
Более того, из (7.59), (7.57) — (7.28)
Теперь, когда найдены все выражения, необходимые для вычисления рабочей функции на основании (7.65), имеем
В этом интеграле функция имеет полюсы в точках
. Как отмечено выше, с точки зрения устойчивости коэффициент
должен быть меньше 1, поэтому полюс
находится вне круга единичного радиуса. В соответствии с (7.31) интеграл в (7.77) равен сумме остатков в точках
. Из (7.32) и (7.34) находим
В первом равенстве второе слагаемое есть остаток при
, а третье слагаемое
равно остатку при
Итак, выражение (7.78) описывает рабочую функцию для второго примера, которая представлена на рис. 7.8.