Передаточные функции
Понятие передаточной функции является общим для анализа как непрерывных, так и цифровых линейных систем. Передаточная функция равна отношению преобразования выходного сигнала системы к преобразованию входного. Для анализа непрерывных систем используют преобразование Лапласа, а цифровых — z-преобразование,
Общий вид линейной цифровой системы (или алгоритма) обработки сигналов приведен на рис. 7.2. Сравнение этой схемы со схемой на рис. 2.2 показывает, что если в цепи обратной связи положить коэффициенты b равными нулю, то схема на рис. 7.2 преобразуется в адаптивный линейный сумматор с одним входом. На рис. 7.2 весовые коэффициенты показаны без стрелок, поскольку в данном случае важно показать, что они имеются в схеме, а не то, что их можно корректировать. 1
Таким образом, на рис. 7.2 представлен общий вид линейного сумматора с одним входом, или цифрового фильтра. При отсутствии обратной связи такой фильтр называется нерекурсивным, при наличии обратной связи — рекурсивным. В обоих случаях выражение для выходного сигнала
При нулевых коэффициентах b имеем выражение, аналогичное (2.3), т. е. нерекурсивный алгоритм.
Рис. 7.2. Эквивалентные схемы алгоритмов цифровой обработки сигналов
Кроме того, этот фильтр является каузальным, так как коэффициенты 
ненулевые для всех положительных 
.
Для получения передаточной функции найдем 
-преобразование выражения (7.3):
Если необходимо найти выражение для правой части в виде 
-преобразований, то нужно задать коэффициенты 
для всех значений 
. Как предполагалось выше, для этого следует приравнять нулю коэффициенты 
для тех значений 
, которые соответствуют позициям «вне фильтра» на рис. 7.2. Таким образом,
Теперь можно записать (7.4) с бесконечными пределами суммирования, изменив порядок суммирования:
Далее, правую часть можно переписать в виде 
-преобразований, просто изменяя индексы. Если положить 
то пределы суммирования по-прежнему остаются бесконечными, и (7.6) принимает вид
Как отмечалось, передаточная функция равна отношению z-преобразования выходного сигнала 
к z-преобразованию входного сигнала 
. Поэтому из (7.7) имеем
Таким образом, для нерекурсивного алгоритма при 
имеем 
