Сравнение характеристик

Ранее отмечалось, что алгоритм наименьших квадратов отличается от рассмотренных в гл. 4 и 5 алгоритмов прежде всего способом оценки градиента на каждом временном шаге. В действительности в этом алгоритме используется дополнительная априорная информация — что рабочая функция является квадратичной.

Таблица 6.1

Алгоритм наименьших квадратов имеет преимущество перед рассмотренными ранее алгоритмами, в которых используется разностный метод оценки градиента .

Преимущества метода наименьших квадратов перед рассмотренным в гл. 4 и 5 методом наискорейшего спуска хорошо видны из сравнения приведенных в табл. 6.1 выражений для относительного среднего значения СКО и постоянной времени.

В табл. 6.1 даны полученные соотношения (5.16), (5.86) — (5.88), (5.99), (5.106), (6.20) и (6.40). Очевидно, что в обоих случаях относительное среднее значение СКО уменьшается при медленной адаптации, т. е. при увеличении постоянной времени. Однако для метода наименьших квадратов при фиксированном

Рис. 6.6. Зависимость постоянной времени адаптации от числа весовых коэффициентов для методов наискорейшего спуска и наименьших квадратов значении постоянной времени оно растет в зависимости от числа весовых коэффициентов линейно, а не по квадратичному закону.

В этом случае, как правило, можно реализовать более быструю адаптацию.

На рис. 6.6 показана еще одна сравнительная характеристика обоих алгоритмов, которая представляет собой зависимость постоянной времени адаптации Тско от числа весовых коэффициентов. Для сравнения относительное среднее значение СКО для метода наименьших квадратов принято 10%. Для метода наискорейшего спуска значение коэффициента М также принято 10%, а относительное приращение Р выбрано в соответствии с (5.109). Кроме того, предполагаются равными собственные значения матрицы R. Из табл. 6.1 получаем следующие выражения для кривых на рис. 6.6:

Из рис. 6.6 видно, что метод наименьших квадратов обладает, меньшим временем адаптации, особенно при большом числе весовых коэффициентов.

В гл. 5 найдена постоянная времени адаптации при использовании метода наискорейшего спуска в адаптивном фильтре с десятью весовыми коэффициентами при оптимизированном значении Р. Эта постоянная определяется соотношением (5.110) и равна 5000 отсчетов данных. При аналогичных расчетах для метода наименьших квадратов получаем, что постоянная времени адаптации составляет лишь 25 отсчетов данных. Это значение намного лучше получаемого при адаптации с измерительным каналом, вводимым для исключения приращений вектора весовых коэффициентов, когда постоянная равна 625 отсчетам данных (5.111). Поскольку переходные процессы, связанные с адаптацией, обычно заканчиваются в течение времени, приблизительно равного четырем постоянным, время установления составляет примерно 100 периодов или итераций.

В [5] показано, что если собственные значения матрицы R равны или почти равны между собой, то эффективность метода наименьших квадратов достигает теоретического предела для адаптивных алгоритмов. Однако если собственные значения не равны между собой, то относительное среднее значение СКО определяется самой быстрой составляющей процесса адаптации, а время установления ограничивается самой медленной. Для обеспечения эффективности при таких условиях разработаны алгоритмы, аналогичные методу наименьших квадратов, но основанные на методе Ньютона, а не на методе наискорейшего спуска.

В них оценка градиента на каждой итерации умножается слева на обратную матрицу R:

или

Это приводит к тому, что все составляющие адаптивного процесса имеют в основном одинаковую постоянную времени. Основанные на этом принципе алгоритмы рассмотрены в гл. 8. Потенциально они эффективнее, чем метод наименьших квадратов, но их, как правило, сложнее реализовать.

Предприняты также попытки разработать более эффективные, чем метод наименьших квадратов, алгоритмы за счет использования переменной постоянной времени, влияющей на значения параметра . В этих алгоритмах для достижения быстрой сходимости сначала выбирают большее значение параметра: после установления процесса минимизации относительного среднего значения СКО берут мыле значения параметра. Этот метод реализуется только тогда, когда входные сигналы являются стандартными случайными процессами.