Упражнения

1. Найдите -преобразование каждого из следующих сигналов, полагая, что все они начинаются при

а) импульсная функция —

б) ступенчатая функция —

в) экспоненциальная функция —

г) линейная функция —

д) косинусоидальная функция —

2. Выразите через если , т. е. у является сдвигом (Теорема сдвига.)

3. Выразите через если

4. Докажите, что -преобразование от равно

5. Докажите, что -преобразование от равно

6. Для представленного на рисунке адаптивного линейного сумматора с двумя весовыми коэффициентами:

а) найдите

б) запишите выражение для коэффициента передачи.

7. Для трансверсального фильтра, приведенного на рисунке, постройте зависимость коэффициента передачи от частоты для .

8. Для условий упражнения 7 постройте три кривых фазового сдвига.

9. Передаточная функция рекурсивной линейной системы имеет вид

а) нарисуйте схему фильтра, аналогичную схеме на рис. 7.2;

б) постройте зависимости коэффициента передачи и. сдвига фаз от частоты;

в) объясните характер кривых с точки зрения нулей и полюсов передаточной функции.

10. Для линейного сумматора, описанного в упражнении 7, постройте зависимость коэффициента передачи по мощности от частоты для .

11. Для условий упражнения 7 запишите выражения для импульсного отклика.

12. Для условий упражнения 9 запишите выражение для импульсного отклика. Обратите внимание на то, что полюсы передаточной функции находятся на окружности единичного размера; следовательно, выбрав чуть больший контур интегрирования, можно воспользоваться выражением (7.26). Кроме того, при существует дополнительный полюс в точке

13. Каковы области значений для которых представленная на рисунке система является устойчивой?

14. Найдите импульсный отклик системы, описанной в упражнении 13.

15. Полагая, что для найдите обратное -преобразование, используя теорему об остатках, для функции:

а) ;

б) .

16. Задана левосторонняя последовательность подстановку найдите «-преобразование и покажите, что оно является сходящимся при Затем на основе теоремы об остатках покажите, как перейти от к

17. Положим, что имеет автокорреляционную функцию определенную для всех п. Найдите энергетический спектр последовательности в виде функции частоты со. При этом следует проводить отдельно вычисления для левой и правой составляющих

18. Положим, что — правосторонняя последовательность, ненулевая только при — зеркальная относительно последовательность, для всех k:

а) выразите через

б) выразите амплитудный спектр через амплитудный спектр

в) выразите фазовый спектр через фазовый спектр

19. Для схемы, приведенной в упражнении 13, запишите выражения для:

а) через ;

б) через ;

в) через .

20. Предположим, что RANDOM (1.) — стандартная функция на языке Фортран, которая осуществляет выбор независимых случайных чисел, равномерно распределенных в интервале от 0 до 1. Напишите программу на Фортране, по которой определяются отсчеты последовательности белого шума с единичной мощностью.

21. Предположим, что полезная выходная последовательность получена в результате прохождения через идентифицируемую систему с передаточной функцией и что — передаточная функция адаптивного фильтра, приведенного на рисунке. Для этой схемы выведите общее выражение рабочей функции.

22. Для схемы упражнения 21 найдите выражение рабочей функции при условии, что — единичный белый шум,

23. Для схемы упражнения 21 найдите выражение рабочей функции при условии, что — единичный белый шум,

24. Предположим, что — отсчет случайной переменной, равномерно распределенной в интервале от 0 до 1 (см. приложение А). Предположим, что сформирована временная последовательность , где а — константа. Чему равны коэффициенты корреляции

25. Найдите если . Здесь взято из упражнения 24, а

26. Используя метод -преобразования (см. упражнение 16), найдите обратное преобразование (т. е. соответствующую левостороннюю последовательность) функции где а — произвольный полюс, находящийся за пределами окружности единичного радиуса

27. Используя метод -преобразования и равенство (7.57), найдите корреляционную функцию для представленной на рисунке схемы, полагая при этом, что представляет собой белый шум с единичной мощностью.

Ответы к некоторым упражнениям

12. .

16. .

24. .

25. .

26. .