Главная > Адаптивная обработка сигналов
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Влияние шума на поиск оптимального вектора весовых коэффициентов

После того, как выведены формулы дисперсии оценки градиента, рассмотрим, какое влияние оказывает в процессе адаптации шум, возникающий при оценке градиента, на вектор весовых коэффициентов. Далее будет показано, что процесс адаптации, основанный на искаженных шумом оценках градиента, приводит к возникновению шума при поиске оптимального вектора весовых коэффициентов и к некоторым потерям. Характер такого влияния шума изменяется в зависимости от метода адаптации. В этом разделе описывается процесс возникновения шума в векторе весовых коэффициентов для методов Ньютона и наискорейшего спуска в такой мере, чтобы в последующих разделах можно было вычислить среднее и относительное среднее значения СКО. Для дальнейшего анализа введем для итерации, т. е. при шумовой вектор оценки градиента (-вектор размерностью и его не следует путать со скалярной величиной N, использованной ранее для обозначения числа наблюдений сигнала ошибки 8). Тогда оценка градиента на итерации равна истинному градиенту при плюс шум оценки градиента:

Рассмотрим влияние этой искаженной шумом оценки градиента на вектор весовых коэффициентов сначала для метода Ньютона, а затем для метода наискорейшего спуска.

В методе Ньютона разностное уравнение для случая без шума определяется выражением (4.32) и имеет вид

При оценивании градиента и, следовательно, возникновении шума (5.34) это выражение принимает вид

Кроме того, в соответствии с (2.32) можно переписать это выражение для вектора весовых коэффициентов в обозначениях вектора отклонений V:

Теперь на основании (2.35) можно подставить градиент и получить разностное уравнение для V:

Таким образам, получаем систему разностных уравнений, решением которой при заданном векторе шума N является вектор отклонений весовых коэффициентов V. Так же, как в (4.38), в этой системе компоненты вектора взаимосвязаны, поскольку вектор N умножается на . Аналогично тому, как это сделано для (4.38), эту систему можно преобразовать и привести к системе координат, образованной главными осями. Для этого подставим в (5.38) вектор , а также матрицу

или

В этом выражении сомножитель в круглых скобках — вектор шума, спроецированный в систему координат главных осей. Обозначив , запишем

Уравнение (5.40) представляет собой систему разностных уравнений относительно вектора компоненты которого не взаимосвязаны, поскольку матрица является диагональной. Методом индукции по аналогии с равенством (4.35) можно найти решение для . На основании первых трех итераций уравнения (5.40) методом индукции можно доказать, что

Итак, для метода Ньютона получено решение разностного уравнения, аналогичное (4.35), за исключением того, что это решение записано в системе координат главных осей и на каждом шаге имеется вектор шума . В (4.35) при увеличении k до бесконечности приходим к оптимальному решению или , но из-за наличия шума в градиенте существует остаточная ошибка.

Если в (5.41) , а параметр находится в пределах области устойчивости от 0 до 1/2, то множитель становится пренебрежимо малым и получаем следующее установившееся решение:

Это решение определяет установившуюся ошибку для метода Ньютона, выраженную через собственные значения входного сигнала в виде матрицы и шум градиента в виде последовательности значений . Отметим, что — диагональная матрица с элементами

Перейдем к анализу влияния шума градиента при использовании метода наискорейшего спуска. Без учета шума этот метод описан в гл. 4. Разностное уравнение (4.36) для этого метода имеет вид

Как и в предыдущих рассуждениях, подставим сюда вектор и вектор градиента с шумом

Полученный результат аналогичен уравнению (5.38) для метода Ньютона, и, так же, как выше, можно найти значения установившейся ошибки. Для этого, подставив сначала перейдем к системе координат главных осей:

Откуда

Вектор определяет вектор шума, спроецированный в систему координат главных осей. Это выражение аналогично (5.40) и решение его так же, как и (5.41), можно найти методом индукции. В этом случае

Снова полагая, что параметр находится в пределах области устойчивости, определяемой неравенством (4.45), приходим к тому, что для больших значений k первое слагаемое в (5.46) становится пренебрежимо малым и установившееся решение

Полученный результат следует сравнить с выражением (5.42) для метода Ньютона.

Итак, выражения (5.42) и (5.47) показывают, что наличие шума градиента приводит к установившимся ошибкам при поиске оптимального вектора весовых коэффициентов. Если теперь шум градиента задан в виде ковариационной матрицы (5.33), то можно найти также ковариационную матрицу вектора весовых коэффициентов. При вычислении математического ожидания по номеру итерации k она задается выражением

Для метода Ньютона произведение можно найти из (5.39) :

Здесь — диагональная матрица, поэтому она равна своей транспонированной матрице. Полагаем, что векторы весовых коэффициентов и шума являются статистически независимыми и имеют нулевое среднее значение, тогда из (5.49)

Проводя аналогичные преобразования для метода наискорейшего спуска, из (5.45) получаем

(5.51)

Отметим, что матрица является диагональной и математическое ожидание произведения векторов стремится к нулю. Поэтому в данном случае вычисление математического ожидания обеих частей равенства (5.51) приводит к выражению

Таким образом, формулы (5.50) и (5.52) выражают ковариацию вектора через ковариацию вектора шума. Чтобы связать эти результаты с предыдущими, сначала отметим, что из (5.33) и (5.34)

Здесь скалярная величина N также обозначает число наблюдений градиента, а вектор N — шум градиента.

Из (5.50), (5.52) и (5.53) находим, что ковариационная матрица является диагональной и имеет вид для метода Ньютона

Теперь для записи этих результатов в смещенной системе координат прежде всего отметим, что из (3.38)

Используя это соотношение, а также (5.54) и (5.55), можно получить окончательные выражения для ковариационной матрицы (Подробный вывод рассматривается в упражнении 18.)

Ковариационная матрица вектора весовых коэффициентов для метода Ньютона

Ковариационная матрица вектора весовых коэффициентов для метода наискорейшего спуска

(5.58)

где — константа адаптивного коэффициента передачи; — минимальное значение СКО; R — корреляционная матрица входного сигнала; N — число независимых измерений сигнала ошибки для каждого значения весовых коэффициентов с приращением; 6 — отклонение весовых коэффициентов, вводимое для измерения градиента.

Итак, основным результатом этого раздела являются соотношения для ковариационных матриц векторов весовых коэффициентов, которые выражены через переменные величины, определяемые при измерении сигнала ошибки. В следующем разделе рассматривается среднее значение СКО, выраженное в этих же переменных.

1
Оглавление
email@scask.ru