Адаптивный режекторный фильтр

В некоторых случаях входной сигнал представляет собой сумму составляющей сигнала и аддитивной синусоидальной помехи. Обычно для подавления такой помехи используется режекторный фильтр. В этом подразделе рассматривается реализация режекторного фильтра с помощью адаптивного устройства подавления помех.

Преимущества такого режекторного фильтра заключаются в том, что он позволяет регулировать полосу частот, формировать нули и осуществлять адаптивное слежение за точным значением частоты и фазы помехи. Кроме того, проводится анализ адаптивной режекции на одной частоте. Нетрудно показать, что эти результаты распространяются на случай, когда на эталонном входе имеется сигнал на многих частотах [49].

На рис. 12.6 приведена схема устройства подавления одночастотной помехи с двумя адаптивными весовыми коэффициентами. Положим, что на вход устройства может подаваться сигнал любого вида — случайный, детерминированный, периодический, импульсный и т. д. — или любая комбинация этих сигналов. На эталонном входе действует чистый синусоидальный сигнал . Отсчеты входных сигналов берутся с интервалами Т секунд, как описано в гл. 7. Здесь — отсчеты эталонного сигнала, а — отсчеты этого сигнала, сдвинутого по фазе, на 90°.

Рассматривая прохождение сигнала от входа до выхода системы на рис. 12.6, можно найти линейную передаточную функцию устройств подавления помех. Для этого на рис. 12.7 построена подробная схема, реализующая алгоритм наименьших квадратов. Отметим, что алгоритм вычисления текущих значений весовых коэффициентов из (6.3) в соответствии с этой схемой имеет вид

Рис. 12.6. Одночастотный адаптивный режекторный фильтр

Рис. 12.7. Схема прохождения сигнала в одночастотном режекторном фильтре

При , как и в (7.16), имеем

(12.45)

Сначала найдем импульсную характеристику звена от т. С (сигнал ошибки ) до выхода фильтра в т. G при разомкнутой петле обратной связи между точками G и В. Пусть в т. С в дискретный момент времени имеется импульс с амплитудой а, т. е.

(12.46)

где — единичный импульс при аналогичный (7.26). Тогда отклик в т. D

что представляет собой входной импульс, амплитуда которого умножена на мгновенное значение в момент k = m. Далее сигнал проходит через звено от т. D до т. Е, которая является цифровым интегратором с передаточной функцией и импульсной характеристикой , где u(k) - единичный скачок (ступенчатая функция) вида

Свертка дает отклик в т. Е:

(12.49)

где . При умножении на получаем отклик в т. F:

(12.50)

где

Соответствующий отклик в т. J, полученный аналогичным образом,

(12.51)

где . Сравнивая (12.50) и (12.51), получаем отклик в т. G на выходе фильтра:

(12.52)

Отметим, что -функция только от и поэтому является истинной импульсной характеристикой, пропорциональной входному импульсу.

Теперь, исходя из (12.52), можно получить линейную передаточную характеристику устройства подавления помех следующим образом. При для звена прохождения сигнала между т. С и т. G имеем

(12.53)

и его передаточная функция есть -преобразование от (упражнение 1д к гл. 7)

При замкнутой петле обратной связи между т. G и т. В передаточная функция звена от входа в т. А до выхода в т. С устройства подавления помех

(12.55)

Из равенства (12.55) следует, что на частоте эталонного сигнала устройство подавления одночастотной помехи обладает свойствами режекторного фильтра. Нули передаточной функции расположены на -плоскости в точках

(12.56)

т. е. точно на окружности единичного радиуса под углами радиан. Полюса передаточной функции расположены в точках

(12.57)

т. е. внутри окружности единичного радиуса на расстоянии от начала координат приближенно равном и под углами

(12.58)

При медленной адаптации (т. е. при небольших значениях ) эти углы определяются множителем

(12.59)

который приблизительно равен 1.

Рис. 12.8. Передаточная функция одночастотного адаптивного устройства подавления помех: а — расположение полюсов и нулей; б — амплитудно-частотная характеристика

Основной вывод состоит в том, что в практических случаях углы полюсов и нулей почти равны.

На рис. 12.8 показано расположение полюсов, нулей и точек половинной мощности передаточной функции. Поскольку нули лежат на окружности единичного радиуса, глубина режекции в децибелах для передаточной функции на частоте равна бесконечности. Форма провала АЧХ определяется расстоянием между соответствующими нулями и полюсами, которое приблизительно равно . Длина дуги окружности единичного радиуса, заключенной между точками половинной мощности, соответствует полосе режекции фильтра и равна

(12.60)

Форма АЧХ в полосе режекции обычно определяется добротностью Q, представляющей собой отношение центральной частоты к ширине полосы режекции:

Таким образом, устройство подавления одночастотной помехи при синусоидальном эталонном сигнале эквивалентно устойчивому режекторному фильтру. В общем случае глубина режекции адаптивного устройства выше, поскольку в результате адаптивного процесса даже при медленном изменении частоты эталонного сигнала поддерживается правильное для подавления соотношение фаз.

На рис. 12.9 приведены результаты двух экспериментов, проведенных для оценки характеристик функционирования адаптивного режекторного фильтра. В первом случае входной сигнал представляет собой синусоиду единичной мощности с частотой, изменяющейся по 512 дискретным значениям. Синусоидальный эталонный сигнал имеет частоту радиан, при этом .

(см. скан)

Рис. 12.9. Результаты экспериментов по адаптивному подавлению одночастотной помехи: а — на вход устройства подается синусоидальный сигнал с шагом через 512 дискретных частот; б — на вход устройства подаются отсчеты Селого шума

Разрешение но частоте дискретного преобразования Фурье в (7.43) . На рис. 12.9, а показана зависимость выходной мощности от частоты. При приближении частоты входного сигнала к частоте эталонного имеет место глубокая режекция. Если близка к , но не равна ей, весовые коэффициенты не сходятся к устойчивым значениям, а колеблются на другой частоте, и адаптивный фильтр функционирует аналогично модулятору, преобразующему эталонную частоту в частоту входного сигнала. Измеренная ширина полосы режекции 0,0255 рад близка к теоретической, равной 0,0250 рад.

Во втором эксперименте входной сигнал представляет собой некоррелированные отсчеты белого шума единичной мощности, а эталонный — аналогичен сигналу первого эксперимента. На рис. 12.9,б показан средний спектр по ансамблю из 4096 энергетических спектров выходного сигнала устройства подавления. В этом эксперименте не получена полная режекция из-за конечного разрешения по частоте алгоритма спектрального анализа.

В этих экспериментах фильтрация синусоидального эталонного сигнала на заданной частоте приводит к подавлению составляющих входного сигнала на соседних частотах. Этот результат показывает, что при некоторых условиях частично могут подавляться и искажаться составляющие входного сигнала, даже если эталонный сигнал не коррелирован с ними. В практических случаях такое подавление возникает только в быстрых адаптивных процессах, т. е. при больших значениях . При медленном адаптивном процессе весовые коэффициенты сходятся практически к фиксированным значениям, и хотя происходит рассмотренное здесь подавление сигнала, оно в общем случае является незначительным. При этом значения весовых коэффициентов приближенно равны винеровскому решению.

За последнее время проведены другие эксперименты с эталонными входными сигналами, содержащими более одной синусоиды. При использовании адаптивных фильтров с многими весовыми коэффициентами (обычно адаптивных трансверсальных фильтров) достигается режекция на многих частотах. Для обеспечения необходимых коэффициента передачи и фазы фильтра для каждого синусоидального сигнала требуется два весовых коэффициента. При наложении на эталонный входной сигнал некоррелированного широкополосного шума необходимы дополнительные весовые коэффициенты. Полный анализ задачи режекции сигналов на многих частотах содержится в [21].