Упражнения

1. Покажите, что если на входе неизвестной системы мощность белого шума равна р, то ее шум определяется равенством (10.11).

2. В приведенной ниже схеме обратного моделирования будем считать, что для всех отсчеты независимы и . Кроме того, положим, что независимы и Выведите выражения для энергетических спектров .

3. Для схемы упражнения 2 из общего соотношения (10.8) найдите выражение для передаточной функции оптимальной обратной модели .

4. Используя решение упражнения 3 в гл. 7 и равенство (7.65), найдите простое выражение для минимального значения СКО в схеме упражнения 2.

5. Каковы значения минимальной СКО и оптимальных весовых коэффициентов в приведенной ниже системе?

6. Для оптимальных системы из упражнения 5, используя алгоритмы фильтрации, покажите, что для точно равна нулю.

7. Для системы из упражнения 5 проведите адаптивный процесс по методу наименьших квадратов. Пусть (в соответствии с приложением и начальные значения . Постройте зависимость от k для ряда значений, достаточного, чтобы показать процесс сходимости.

8. Покажите приведенной ниже системы, что, используя метод наименьших квадратов, можно осуществить слежение за изменяющимися во времени параметрами неизвестной системы. Для этого постройте зависимости от k весовых коэффициентов и при Примите такими же, как в упражнении 7. В качестве начальных условий возьмите

9. Для приведенной ниже схемы обратного моделирования выразите сигнал ошибки через входной сигнал

10. Положим, что в системе из упражнения — белый шум мощностью, равной единице. Выразите рабочую функцию через адаптивные весовые коэффициенты

11. Положим, что в системе из упражнения — белый шум мощностью, равной единице, и На основе решения упражнения 10 найдите аналитическое выражение для оптимальных значений весовых коэффициентов.

12. Пусть в системе из упражнения — белый шум, Составьте программу сходимости к для метода наименьших квадратов. Постройте результирующую импульсную характеристику адаптивного линейного сумматора. Затем постройте общую импульсную характеристику последовательно соединенных неизвестной системы и этого адаптивного линейного сумматора.

13. Пусть в приведенной ниже схеме обратного моделирования s — белый шум, а . Для метода наименьших квадратов постройте импульсные характеристики оптимальной обратной модели и последовательного соединения неизвестной системы с этой моделью.

14. Для системы из упражнения 13 экспериментально найдите значение минимальной СКО, если мощность шума равна 0, составляет 0,01 и 0,1 от мощности сигнала При этом предполагается, что s и — два независимых белых шума.

15. Для приведенной ниже системы постройте обучающую кривую по методу наименьших квадратов, усредняя по 100 реализациям адаптивного процесса. При этом белый шум мощностью, равной 1, а составляет 10% общей мощности

16. Методом наименьших квадратов проведите адаптивный процесс для схемы из упражнения 15 при и постройте зависимость от при изменении от 0 до 15. Для оценки для каждого значения А вычислите среднее по 100 значениям после завершения процесса адаптации.

17. Поясните своими словами принцип действия адаптивного устройства выравнивания на рис. 10.13.

18. Для схемы на рис. 10.17 получите выражение, аналогичное равенству (7.67), и покажите, что ее рабочая функция является квадратичной.

19. В схеме на рис. 10.17 положим, что , т. е., что и имеют по одному весовому коэффициенту. Найдите, при каких значениих этих весовых коэффициентов достигается минимум СКО в схемах на рис. 10.16 и рис. 10.17. Явлиются ли они одинаковыми для обеих схем?

20. В соответствии с рис. 10.18, используя метод наименьших квадратов, экспериментально проведите синтез БИХ-фильтра. Примите в (10.19) и такое значение , при котором адаптивный процесс сходится в пределах нескольких тысяч итераций. Постройте зависимость от k. Постройте сглаженную АЧХ, аналогичную рис. 10.18.

21. Покажите, где расположены полюса передаточной функции БИХ-фильтра из упражнения 20. Сравните результат с рис. 10.23. При необходимости перенесите соответствующие полюсы в окружность единичного радиуса и найдите передаточную функцию нового устойчивого варианта фильтра.

22. Покажите, что коэффициент передачи компенсатора фазы из (10.29) одинаков на всех частотах. Найдите выражения для фазы , где — нормированнаи частота [см. равенство (7.16)].

23. В соответствии с рис. 10.27 способом, реализация которого приведена на рис. 10.25, проведите синтез БИХ-фильтра. Примите и, изменяя множители стоимости, как показано на рис. 10.27, получите аналогичные результаты.

Ответы к некоторым упражнениям

1. См. равенство (7.73), (7.74) и (7.57).

2. .

3.

9.

10.

11.

22.