Подавление боковых лепестков

Простейшим видом адаптивной антенны является устройство подавления боковых лепестков, впервые предложенное Хауэллзом [27] в конце 1950-х годов и в дальнейшем разработанное Хауэллзом и Аппельбаумом. На рис. 13.1 приведена схема такого устройства, в котором используются два ненаправленных элемента (с одинаковой чувствительностью во всех направлениях) — один «входной», другой «эталонный», аналогично методам адаптивного подавления помех (например, рис. 12.1). Положим, что одновременно действуют один сигнал и одна помеха. Как входной, так и эталонный направленные элементы принимают сигнал и помеху. Поскольку эти элементы пространственно разнесены, сигналы на их выходах не одинаковы, но представляют собой связанные временные функции.

Важным является случай, когда помеха намного мощней сигнала. Весовые коэффициенты адаптивного фильтра почти полностью определяются помехой. После адаптации выходной сигнал адаптивного фильтра содержит составляющую помехи, близкую с составляющей помехи, действующей на входном ненаправленном элементе. Следовательно, выходной сигнал системы почти не содержит помехи, но обязательно содержит сигнал, как описано в гл. 12. Выходной сигнал равен разности составляющей сигнала на входе и прошедшей через адаптивный фильтр составляющей сигнала на эталонном входе. Поскольку без подробных априорных сведений о характере и направлениях прихода помехи и сигнала нельзя предсказать, какой будет передаточная функция адаптивного фильтра после адаптации, в общем случае ожидаемое значение выходного сигнала является неопределенным. Однако при мощной помехе схема на рис. 13.1 приводит к повышению отношения сигнал-помеха на выходе.

В практическом случае сигнал каждого ненаправленного элемента обычно подается на отдельное приемное устройство для усиления, фильтрации и выделения сигнала. Сами приемные устройства и антенны вносят во входные сигналы независимые шумы, которые будем называть шумами приемника.

Рис. 13.1. Адаптивное подавление боковых лепестков в двухэлементной решетке

Эти шумы оказывают значительное влияние на работу адаптивных антенн. Чтобы в системе на рис. 13.1 подавлялась направленная помеха, но не подавлялся полезный сигнал, помеха должна быть мощной, а сигнал слабым по сравнению с шумом приемника. Эти условия часто выполняются на практике.

На рис. 13.2 приведена схема адаптивного подавления боковых лепестков, в которой приемники на выходах обоих ненаправленных элементов вносят шумы. Ненаправленные элементы разнесены на расстояние При этом полагают, что принимается единственный сигнал, поступающий под углом Составляющая сигнала на входном ненаправленном элементе

где С — постоянная амплитуда; k — номер отсчета; со измеряется, как и в (7.16) в радианах. Фазовые фронты, перпендикулярные направлению прихода сигнала, проходят через двухэлементную решетку так, как показано на рис. 13.2. Если с — скорость распространения, то данный фазовый фронт приходит на эталонный ненаправленный элемент раньше, чем на входной, на число временных шагов

где T — временной шаг, с, а — длина волны. Отсюда составляющая сигнала на эталонном ненаправленном элементе

При отсутствии шума приемника весовые коэффициенты адаптивного фильтра настраиваются так, что сигнал подавляется полностью. Однако следует показать, что при наличии этого шума и мощном по сравнению с ним сигнале подавления сигнала не происходит, а адаптивное устройство подавления боковых лепестков

Рис. 13.2. Схема устройства подавления боковых лепестков при приеме одного сигнала

Проведем анализ работы устройства при действии на входе одного сигнала и наличии шума приемника. Входной и эталонный сигналы определяются, соответственно, выражениями (13.1) и (13.3). Для анализа рассмотрим схему приведенного на рис. 13.3, а узкополосного устройства подавления боковых лепестков. Включение в тракты прохождения сигнала настроенных полосовых фильтров соответствует настроенной узкополосной приемной системе. Будем считать, что каждый из этих фильтров имеет единичный коэффициент передачи на центральной частоте полосы пропускания приемника . Как и на рис. 12.6, для регулирования амплитуды и фазы сигнала на частоте адаптивный фильтр должен иметь только синфазный и квадратурный весовые коэффициенты.

Предположим, что шумы приемника в схеме на рис. 13.3, а являются независимыми, в том числе относительно составляющих сигнала, а — мощность каждого из них в полосе пропускания.

Рис. 13.3. Схема настроенного устройства подавления боковых лепестков для направления приема сигнала под углом (а) и ее упрощенный вариант для определения ДН устройства подавления боковых лепестков после его адаптации (б)

Тогда из (13.3) вектор автокорреляционной функции эталонного сигнала

Отметим, что так как является корреляционной функцией сигнала (13.3) и его квадратурной составляющей, а среднее значение их произведения равно нулю. Аналогично этому вектор взаимокорреляционной функции для произвольного угла прихода

основе этих выражений из (2.17) находим оптимальный вектор весовых коэффициентов для схемы на рис. 13.3, а:

который является общим решением. Пусть для рассматриваемой схемы тогда и оптимальный вектор весовых коэффициентов

В этом случае можно определить отношение сигнал-шум на входе как отношение мощностей входного или эталонного сигналов к мощности шума приемника в полосе пропускания:

Соответственно из (13.7) получаем

Этот результат аналогичен выражению (12.81).

Из (13.1) и (13.7) можно найти выражение для выходного сигнала:

(13.10)

Для мощного входного сигнала, т. е. при

(13.11)

выходной сигнал можно записать в виде

Из приведенного выше анализа видно, что при слабом, по сравнению с шумом приемника в эталонном канале, входном сигнале отношение сигнал-шум мало, значение весового коэффициента w 1 почти равно нулю, выходной сигнал приближенно совпадает с входным, т. е. сигнал почти не подавляется. Однако при мощном, по сравнению с шумом приемника, входном сигнале имеем высокое отношение сигнал-шум, близкое к 1 значение весового коэффициента и небольшой уровень выходного сигнала, примерно равный уровню входного сигнала, деленному на отношение сигнал-шум. В этом случае амплитуда выходного сигнала, как следует из (13.12), обратно пропорциональна амплитуде входного сигнала, и происходит значительное подавление сигнала.

Если угол прихода сигнала не равен нулю, то имеет место соотношение (13.5). Весовой коэффициент не стремится к нулю, принимает другое значение, однако амплитуда выходного сигнала определяется аналогично выражением (13.10).

Кроме того, представляет интерес определение чувствительности приемной системы на рис. 13.3, а для всех углов при Пусть после адаптации к сигналу, приходящему под нулевым углом, весовые коэффициенты имеют значения, соответствующие (13.9). На рис. 13.3, б приведена упрощенная схема, удобная для определения зависимости чувствительности от угла прихода. Подобную зависимость для решетки после адаптации обычно называют диаграммой направленности (ДН).

Положим, что контрольный сигнал на частоте приходит под углом . Пусть, как и в (13.2), а соответствующая составляющая контрольного сигнала на входном элементе равна при тогда в соответствии с рис. 13.3, б составляющая на эталонном элементе равна

(13.13)

где

(13.15)

и

(13.16)

Пусть по определению коэффициент передачи решетки по амплитуде есть отношение амплитуд выходного и входного сигналов.

Поскольку амплитуда контрольного входного сигнала равна единице,

Пусть, кроме того, по определению коэффициент передачи решетки по мощности равен квадрату упомянутого выше коэффициента, т. е.

(13.18)

В соответствии с (7.20) значение этого коэффициента в децибелах

(13.19)

Пусть теперь по определению фаза выходного сигнала решетки есть разность фаз выходного и входного сигналов, тогда из (13.14) имеем фаза выходного сигнала решетки Да в (13.16). (13.20)

Для рассмотрения (13.18) и (13.20) напомним, что — функция отношения сигнал-шум (13.9) и первоначальный входной сигнал, относительно которого проведена адаптация решетки, представляется выражением (13.1) и имеет направление прихода с . Коэффициент передачи решетки принимает минимальное значение при что равносильно пространственной режекции в направлении прихода первоначального сигнала. Фактически адаптивный процесс стремится к подавлению входного сигнала. При этом чем мощнее сигнал, тем выше уровень режекции. По мере роста отношения сигнал-шум (которое больше единицы) происходит быстрое увеличение уровня адаптивной режекции, и, как это следует из (13.12), коэффициент передачи становится обратно пропорциональным уровню сигнала.

На рис. 13.4 построена зависимость коэффициента передачи решетки по мощности от угла 0 в полярных координатах, в предположении, что угол прихода первоначального сигнала

Рис. 13.4. Диаграмма направленности (зависимость коэффициента передачи по мощности в децибелах от угла 0) двухэлементного устройства подавления боковых лепестков при Отношение сигнал-шум на входе равно 6 дБ для внешней кривой, 10 дБ для средней и 100 дБ для внутренней. Основной сигнал приходит под углом

Приведенные кривые построены в соответствии с (13.9) и (13.18) для различных значений отношения сигнал-шум. Для этих кривых апертура решетки . Отметим, что это значение I в некотором смысле является оптимальным, так как приводит к двум различным областям режекции и максимальному значению в (13.18).

Полагая , из (13.18) и (13.9) находим коэффициент передачи решетки по мощности для направления режекции:

(13.21)

На рис. 13.5 приведена зависимость минимального коэффициента передачи решетки по мощности от отношения сигнал-шум. Фактически, как видно из рис. 13.5, адаптивное устройство подавления боковых лепестков производит оценку мощности. Мощные сигналы подавляются, в то время как слабые сигналы, приходящие по другим направлениям, пропускаются по существу с единичным коэффициентом передачи. Снова обметим, что «мощный» и «слабый» сигналы определяются относительно уровня шума приемника.

Рассматриваемое устройство нормально работает тогда, когда полезные входные сигналы являются слабыми, а помехи — мощными. Однако иногда полезный сигнал может быть достаточно мощным по сравнению с шумом приемника и при этом подавляться. Для того чтобы предотвратить такое подавление, для увеличения шума приемника можно специально прибавить к сигналу эталонного элемента независимый шум. Однако такой метод имеет недостаток, который заключается в том, что увеличивается шум системы в целом и в конечном итоге увеличивается шум в выходном сигнале. Более эффективным способом адаптации для этого случая является применение упрощенного алгоритма наименьших квадратов.

Рис. 13.5. Зависимость коэффициента передачи по мощности двухэлементного устройства подавления боковых лепестков по направлению режекции от отношения сигнал-шум на входе

Вывод этого алгоритма начнем с самого алгоритма наименьших квадратов. Из (6.3) для данного алгоритма можно записать

(13.22)

Полагая, что некоррелированны, можно найти математическое ожидание от (13.22):

(13.23)

Математическое ожидание вектора весовых коэффициентов после адаптации для соответствующего области устойчивости,

(13.24)

На рис. 13.6,а приведена схема адаптивного фильтра, работающего по алгоритму наименьших квадратов. К входному сигналу прибавляется белый шум мощностью . Для такого случая (13.23) принимает вид

(13.25)

а математическое ожидание вектора

(13.26)

Упрощенный алгоритм наименьших квадратов зададим следующим образом:

(13.27)

где параметр — положительная константа, принимающая значения в интервале

(13.28)

Если в обычном алгоритме наименьших квадратов (13.22), то вектор весовых коэффициентов остается постоянным в течение неограниченного времени. Однако в упрощенном алгоритме даже если у чуть меньше единицы, при вектор весовых коэффициентов постепенно, по закону геометрической прогрессии, стремится к нулю.

Рис. 13.6. Схемы эквивалентных адаптивных фильтров, работающих по алгоритму наименьших квадратов: а — фильтр с шумом на входе; б — эквивалентный фильтр, работающий по упрощенному алгоритму наименьших квадратов

Чтобы этот алгоритм был работоспособным, он должен находиться в процессе адаптации подобно тому, как акуле для дыхания необходимо находиться в движении.

Влияние параметра у на оптимальное решение можно определить следующим образом. Аналогичное (13.22) уравнение для упрощенного алгоритма наименьших квадратов имеет вид

(13.29)

Здесь также — некоррелированы. Математическое ожидание для (13.29)

(13.30)

Из сравнения (13.30) и (13.25) видно, что для упрощенного алгоритма можно получить такое же оптимальное решение, что и для схемы с шумом на рис. 13.6, а. Для определения влияния заданной мощности дополнительного шума на входе а параметр у выбирается следующим образом:

или

(13.31)

Из (13.26) и (13.31) для упрощенного алгоритма наименьших квадратов находим оптимальное решение

(13.32)

Этот алгоритм можно использовать в устройстве подавления боковых лепестков для установления эквивалентного уровня мощности шума на входе, хотя это и приведет к увеличению шума выходе. Мощность входного сигнала может быть большой или малой по сравнению с этой эквивалентной мощностью шума, и их отношение определяется по (13.21), а уровень приема или степени подавления — по рис. 13.4 и 13.5. Эквивалентная мощность шума на входе

(13.33)

где - действительная мощность шума приемника.

При выборе в соответствии с (13.28) эквивалентная мощность является положительной. При высоком уровне шума приемника, приводящем к значительному смещению оптимальных значений весовых коэффициентов, можно принять при этом эквивалентная мощность будет меньше Однако при адаптивный алгоритм становится неустойчивым.

Процесс адаптации следует по возможности сохранять устойчивым. Рассматриваемый алгоритм можно применять при . Если этот алгоритм является устойчивым и используется в схеме с шумом приеммика, то математическое ожидание оптимального решения по аналогии с (13.32)

(13.34)

Таким образом, рассматриваемый алгоритм приводит к такому же оптимальному вектору весовых коэффициентов, как и в случае шума на входе, но не требует добавления шума на входе, т. е. не приводит к дополнительному шуму на выходе или в значениях весовых коэффициентов.

На рис. 13.7 приведены некоторые ДН устройств подавления боковых лепестков, использующих этот алгоритм. Они рассчитаны так же, как на рис. 13.4, за исключением того, что отношение сигнал-шум в (13.8) в этом случае равно отношению мощности сигнала к эквивалентной мощности шума на входе Кривые на рис. 13.7 построены в предположении, что мощность шума приемника равна единице, а мощность входного сигнала — десяти, т. е. отношение сигнал-шум составляет 10 дБ. Для регулирования порога приема или режекции сигнала изменяется значение у. Полученный здесь результат соответствует почти ненаправленной ДН, что означает отсутствие режекции входного сигнала.

Рассмотрим теперь практический вариант решетки, когда сигнал и помехи действуют одновременно. Положим, что имеется одна узкополосная помеха, не коррелированная с узкополосным сигналом. Тогда можно дополнить матрицы R и векторы Р для обоих сигналов, которые определяются выражениями (13.4) и (13.5). Пусть в направлении мощность сигнала помехи , а мощность более слабого полезного сигнала и угол прихода . Тогда в соответствии с (13.4) и (13.5) имеем

(13.35)

Рис. 13.7. Диаграммы направленности (зависимости коэффициента передачи по мощности в децибелах от угла 0) двухэлементного устройства подавления боковых лепестков после адаптации по упрощенному алгоритму наименьших квадратов при Сигнал приходит под углом Отношение сигнал-шум на входе равно 10 дБ. Для внутренней, средней и внешней кривых значения составляют 0,5; 1 и 1,5

где (13.2). Оптимальные весовые коэффициенты

(13.36)

Если теперь считать, что весовые коэффициенты оптимальны и не меняются, а входной контрольный сигнал с единичной амплитудой приходит под некоторым другим углом , тогда аналогично (13.14) выходной контрольный сигнал

(13.37)

где Таким образом, аналогично (13.18)

На рис. 13.8 показана ДН для рассматриваемого случая. Здесь помеха в 10 раз больше по мощности сигнала, приходящего под углом , и сказывается влияние сигнала, которое заключается в небольшом смещении обоих направлений режекции в сторону направления прихода этого сигнала.

Еще один практический случай относится к действию множества помех. Для обработки нескольких одновременно действующих помех нужно иметь не менее двух эталонных ненаправленных элементов. На рис. 13.9 приведена система с двумя пространственно разнесенными эталонными ненаправленными элементами. Отметим, что сигнал ошибки формируется здесь вычитанием из входного сигнала обеих помех, поступающих с эталонных каналов.

Рис. 13.8. Диаграмма направленности для сигнала с помехой при . При снятом сигнале наблюдается небольшое смещение направления режекции помехи

Рис. 13.9. Устройство подавления помех с двумя эталонными ненаправленными элементами

Поскольку эталонные ненаправленные элементы пространственно разнесены, система на рис. 13.9 может формировать в своей ДН два раздельных направления режекции. Пусть, как и в (13.2), — задержка, вносимая в сигнал с углом прихода направленным элементом решетки, где — расстояние между входным и эталонным элементами, а - весовые коэффициенты фильтров. Тогда (13.27) для этого случая принимает вид

На рис. 13.10 приведена ДН, построенная в соответствии с (13.39), для следующих данных:

Из рис. 13.10 видно, что в диаграмме сформированы два различных направления режекции под углами прихода помех 30 и 60° и два симметричных направления режекции под углами 150 и 120° соответственно. Отметим также, что из-за наличия двух помех диаграмма искажена относительно круговой сильней, чем в предыдущих примерах.

Если рассчитывать на большее число помех, то необходимо включить большее число эталонных элементов, по крайней мере по одному для каждой помехи.

Рис. 13.10. Диаграмма направленности для системы, показанной на рис. 13.9 при мощных помехах, приходящих под углами 60°

Если число помех превышает число эталонных элементов, то адаптивный алгоритм приводит к минимизации выходной мощности, как, например, в схеме на рис. 13.8. В противнохм случае алгоритм наименьших квадратов легко формирует нужное число направлений режекции в ДН.