Подавление стационарных помех

В данном разделе находятся оптимальные винеровские решения для некоторых задач подавления стационарных помех. Цель данного изложения — показать возможность повышения отношения сигнал-помеха, а также другие преимущества методов подавления помех при использовании адаптивных фильтров по сравнению с обычными методами фильтрации помех.

Как отмечалось раньше, при подавлении помех фильтры с постоянными параметрами в большинстве случаев неприменимы, так как в общем случае автокорреляционные и взаимокорреляционная функция входного и эталонного сигналов неизвестны и часто являются изменяющимися во времени. Поэтому необходимо сначала обучать адаптивные фильтры по обучающим статистикам, а затем осуществлять слежение за ними, если они медленно меняются. Однако для стационарных входных сигналов установившийся режим работы медленно адаптирующихся фильтров приближается к режиму работы винеровских фильтров, поэтому удобным математическим аппаратом для анализа статистических задач подавления помех является винеровская теория фильтрации.

На рис. 12.2 приведена схема классического винеровского фильтра с одним входом и одним выходом. Здесь — входной сигнал, — выходной сигнал, — полезный отклик. Будем считать, что входной и выходной сигналы дискретны во времени, а входной сигнал и полезный отклик — стационарны в статистическом смысле. Сигнал ошибки равен Фильтр является линейным, дискретным и оптимальным в смысле минимума СКО. Для проводимого здесь анализа будем полагать, что фильтр имеет неограниченную длину и является адаптивным трэнсверсальным фильтром с двусторонней импульсной характеристикой.

Рабочая функция такого фильтра является квадратичной и из (7.67) и (10.1)

Минимальное значение этой рабочей функции соответствует оптимальному вектору весовых коэффициентов W, т. е. весовым коэффициентам оптимального винеровского фильтра с передаточной функцией . В (10.3) получено, что оптимальная передаточная функция есть отношение энергетических спектров

Эта формула описывает свободное некаузальное решение задачи винеровской фильтрации. В противоположность этому реализация Шеннона — Боуда [2] представляет собой каузальный фильтр. В общем случае ограничение каузальным фильтром приводит к ухудшению характеристик, а, как показано ниже, в приложениях к адаптивному подавлению помех этого ограничения можно избежать.

Рис. 12.2. Одноканальный винеровский фильтр

Рассмотрим теперь, как можно использовать равенство (12.8) при адаптивном подавлении помех. На рис. 12.3 представлена несколько более подробная схема системы, показанной на рис. 12.1. Здесь показан один из способов получения входного сигнала и помех на входах системы. Входной сигнал представляет собой сумму сигнала и двух помех — и ток, а эталонный сигнал — сумму двух других помех , пришедший через тракт с импульсной характеристикой и передаточной функцией Обе помехи — на входе системы и прошедшая через тракт с имеют общий источник и являются коррелированными между собой и не коррелированными с сигналом . Предполагается также, что их энергетические спектры ограничены на всех частотах. Помехи не коррелированы между собой, с на входе системы и прошедшей через тракт, с . Для дальнейшего анализа будем считать, что все тракты распространения помех эквивалентны линейным фильтрам с постоянными параметрами.

Рис. 12.3. Одноканальное адаптивное устройство подавления помех с коррелированной и некоррелированной помехами на входе устройства и на эталонном входе

Схема подавления помех на рис. 12.3 включает в себя адаптивный фильтр, входной сигнал (эталонный сигнал устройства подавления) которого равен сумме прошедший через тракт с , а полезный отклик (входной сигнал устройства подавления) . Сигналом ошибки ей является выходной сигнал устройства подавления. Если считать, что адаптивный процесс завершен и найдены оптимальные в смысле минимума СКО весовые коэффициенты (оптимальное решение), то адаптивный фильтр эквивалентен винеровскому фильтру (12.8). Оптимальное решение для устройства подавления на рис. 12.3 желательно иметь по следующей причине. Выходной сигнал — это сигнал ошибки винеровского фильтра, а, как следует из (2.39), сигнал ошибки не коррелирован с входным сигналом фильтра х. Следовательно, на входе системы полностью подавляются все составляющие помехи, коррелированные с составляющими помехи на эталонном входе. Однако другие составляющие не подавляются и оказываются на выходе системы.

Оптимальная передаточная функция адаптивного фильтра. W(z) есть винеровское решение (12.8), для которого теперь можно получить следующее обобщение. Спектр входного сигнала фильтра можно выразить через спектры его двух некоррелированных составляющих. Спектр помехи — , а спектр помехи , прошедшей через тракт с . Отсюда спектр входного сигнала фильтра

Взаимный энергетический спектр входного сигнала фильтра и полезного отклика зависит только от коррелированных составляющих входного и эталонного сигналов и имеет вид

(12.10)

Подставляя (12.10) в (12.8), получаем винеровскую передаточную функцию

Отметим, что не зависит от спектра сигнала и спектра некоррелированного шума на входе системы.

При нулевой аддитивной помехе на эталонном входе имеем интересный частный случай, когда и оптимальная передаточная функция (12.11) принимает вид

(12.12)

Интуитивно ясно, что этот результат является правильным, так как адаптивный фильтр приводит, как и при балансе мостовой схемы, к обнулению на выходе устройства подавления. Некоррелированная помеха не подавляется и наряду с сигналом появляется на выходе системы.

Функционирование устройства подавления помех с одним входом можно рассмотреть в более общем виде с точки зрения соотношения двух отношений плотности мощности сигнала к плотности мощности помех — на выходе системы и на ее входе . Полагая, что спектр сигнала является неотрицательным на всех частотах, после соответствующих преобразований имеем

Из рис. 12.3 следует, что энергетический спектр помехи на выходе устройства подавления равен сумме трех составляющих, одна из которых соответствует прямому прохождению на выход, , другая — , прохождению через звено с передаточной функцией , а третья — прохождению через звено с передаточной функцией . Отсюда энергетический спектр помехи на выходе

(12.14)

Для удобства обозначим отношения спектров коррелированных и некоррелированных помех на входе и эталонном входе соответственно через

и

В этих обозначениях передаточную функцию (12.11) можно переписать в виде

(12.17)

Тогда энергетический спектр помехи на выходе

(12.18)

При этом отношение (12.13)

(12.19)

Это выражение является общим представлением идеальной характеристики подавления помех в рассматриваемом случае. Оно позволяет оценить ожидаемый уровень подавления помехи при идеальной системе подавления, содержащей винеровский фильтр с двусторонней импульсной характеристикой. В такой системе сигнал проходит на выход неискаженным. В противоположность этому классические схемы Винера, Калмана и адаптивных фильтров в процессе подавления помех вносят некоторые искажения и в сигнал.

Из (12.19) видно, что возможности подавления помех ограничиваются отношениями и . Если они относительно малы, то отношение велико и относительно более эффективно функционирует устройство подавления. Необходимость иметь низкий уровень некоррелированных помех на обоих входах становится еще более очевидной при рассмотрении следующих конкретных случаев:

1) при малом

(12.20)

2) при малом B(z)

3) при малых A(z) и В (z)

Из этих соотношений следует, что полное подавление возможно, когда A(z) и B(z) равны нулю. В этом случае на выходе системы можно полностью исключить помеху, что приводит к идеальному восстановлению сигнала. Однако при малых A (z) и B(z) вступают в силу другие факторы, ограничивающие характеристики системы. К этим факторам относятся конечная длина адаптивного фильтра в реальных системах и относительное среднее значение СКО, вызванное шумом оценки градиента, возникающим в процессе адаптации (см. гл. 5 и [19, 20]). Влияние третьего фактора, связанного с попаданием на эталонный вход составляющих сигнала, рассматривается в следующем подразделе.