Глава 7. ПРИМЕНЕНИЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В АДАПТИВНОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ
В предшествующих главах рассмотрены адаптивный линейный сумматор и его свойства без применения обычного преобразования, или анализа в частной области, которым пользуются для линейных систем [1—4]. В данной главе приведен обзор некоторых стандартах понятий и методов цифровой обработки сигналов и показано, как применять их к анализу линейных адаптивных фильтров.
В частности, представлен метод z-преобразования в анализе цифровых систем и показано соотношение между z-преобразованием и частотной характеристикой (коэффициентом передачи и сдвигом фаз) системы. Кроме того, рассмотрены с помощью z-преобразования метод наименьших квадратов и рабочая функция для этого метода. По цифровой обработке сигналов имеется много исчерпывающих книг [1—4, 7—9], поэтому материал излагается кратко.
Для адаптивного линейного сумматора представления, излагаемые в данной главе, дают лишь другой взгляд на разработку и анализ адаптивных систем. В то же время для других видов адаптивных фильтров, например для рекурсивных, рассматриваемые здесь методы преобразований являются необходимыми.
Z-преобразование
Как следует из изложенного выше, при анализе таких систем обработки сигналов, как адаптивный линейный сумматор, используются множества отсчетов, т. е. упорядоченные последовательности отсчетов. Они состоят из различных временных рядов, а именно, входного и полезного сигналов и сигнала ошибки, а также значений весовых коэффициентов.
Для любой такой последовательности z-преобразование определяется следующим образом
Здесь z представляет собой непрерывную комплексную переменную, а 
называют двусторонним z-преобразованием, так как индекс k может принимать как отрицательные, так и положительные значения. В самом деле, для получения 
необходимо знать 
для всех целых значений k. Поэтому, просто полагая, что для всех отрицательных k значения 
, получаем одностороннее преобразование.
Рис. 7.1. Отсчеты функции 
и ее z-преобразование, для которого нуль находится в точке 
, а полюс — в точке 
В качестве простого примера z-преобразования рассмотрим отсчеты 
экспоненциальной функции
Тогда z-преобразование есть простая рациональная функция от 
, показанная на рис. 7.1. Поскольку 
для отрицательных k, в данном случае имеем одностороннее z-преобразование. Это преобразование имеет нуль (т. е. равно нулю) в точке 
и полюс (т. е. становится бесконечным) в точке 
Как и для примера на рис. 7.1, бесконечную (или даже конечную) геометрическую сумму всегда можно записать в виде рациональной функции, поэтому z-преобразование позволяет простым способом выразить многие последовательности отсчетов. Таблицы z-преобразований можно найти в [4].
Отметим также, что в z-преобразовании содержится вся информация об исходной последовательности отсчетов. Каждый отсчет в (7.1) связан с единичной мощностью переменной 2, поэтому по z-преобразованию можно полностью восстановить множество отсчетов. Иными словами, существует обратное z-преобразование, которое будет рассмотрено далее.
