Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Адаптивные рекурсивные фильтрыВ гл. 7 обсуждалась возможность использования в адаптивной системе вместо адаптивного линейного сумматора рекурсивного фильтра. Рекурсивный фильтр, имеющий полюсы и нули, обладает такими же свойствами, как и рекурсивные фильтры, применяемые в инвариантных во времени системах [6]. С другой стороны, в гл. 7 показано, что в отличие от адаптивного линейного сумматора рекурсивные адаптивные фильтры имеют два недостатка: 1. При выходе в процессе адаптации полюсов фильтра за пределы круга единичного радиуса фильтр становится неустойчивым. 2. В общем случае рабочие функции фильтров являются неквадратичными и могут иметь локальные минимумы. Из-за этих серьезных недостатков рекурсивные адаптивные фильтры находят очень ограниченное применение. Для предотвращения неустойчивой работы необходимо вводить какие-либо ограничения на коэффициенты фильтра, а при рабочей функции с многими экстремумами процесс адаптации осуществляется неправильно как методом наискорейшего спуска, так и методом Ньютона.
Рис. 8.5. Схема рекурсивного адаптивного фильтра Относительно второго недостатка в момент написания книги появились сообщения о том, что если рекурсивный адаптивный фильтр имеет значительное число полюсов и нулей, то рабочая функция является унимодальной [7]. Таким образом, локальные минимумы можно исключить просто введением в фильтр дополнительных весовых коэффициентов. Для вывода алгоритма работы рекурсивного адаптивного фильтра включим рекурсивный фильтр, приведенный на рис. 7.2, в стандартную адаптивную схему, как показано на рис. 8.5. Здесь вектор
Такая запись, соответствующая системе с одним входом, взята здесь для удобства анализа. Зададим зависящий от времени вектор весовых коэффициентов
Из рис. 8.5 и (8.45) можно записать
Это соотношение аналогично соотношению для нерекурсивной системы [например, (2.8)], основное отличие состоит в том, что Рассмотрим сначала алгоритм наименьших квадратов и в соответствии с (6.2) запишем приближенное выражение для градиента:
Вычисление производных в (8.49) представляет особую задачу, так как теперь
С учетом заданных таким образом производных
По аналогии с формулой (6.3) запишем алгоритм наименьших квадратов в виде
Здесь вместо параметра
В случае неквадратичной рабочей функции имеем некоторый параметр сходимости
Начальные условия выбираются здесь так же, как выше, за исключением того, что пока не известны значения Полезно представить алгоритм (8.55) в виде блок-схемы. Используя введенные в гл. 7 обозначения,
Для второго или третьего соотношения из (8.55) можно записать передаточную функцию
На рис. 8.6 приведен пример вычисления
Рис. 8.6. Схема формирования Аналогичные схемы приводятся в [8] а также в [9], где впервые предложен рекурсивный алгоритм по методу наименьших квадратов. Различные модификации этого алгоритма рассмотрены в [8, 14, 15] и других работах. В [10] представлен полный класс сверхустойчивых алгоритмов для адаптивных рекурсивных фильтров. Простейший из этих алгоритмов можно описать следующим образом [10—13]. Пусть в
Здесь с — постоянные коэффициенты, предназначенные для получения Выбор сглаживающих коэффициентов Поскольку в общем случае для БИХ-фильтров с неквадратичной рабочей функцией затруднительно применять методы наименьших квадратов, приходится снова рассматривать приближения к методу Ньютона, хотя применение последнего может также оказаться затруднительным по той же самой причине. При замене X на U и использовании оценки градиента в системе с бесконечной импульсной характеристикой нетрудно получить для рекурсивных фильтров алгоритм вида последовательной регрессии. Таким образом, для нерекурсивной системы
Рис. 8.7. Схема реализации алгоритма (8.55) для рекурсивной:
Простейший способ получить рекурсивный алгоритм последовательной регрессии состоит в том, чтобы сначала заменить X на U в (2.11) и (2.13), при этом иначе определяются матрицы R и Р, а размерность возрастает с В результате такой замены рабочая функция системы с бесконечной импульсной характеристикой определяется соотношением (2.13). Далее необходимо найти градиент от (2.13) и положить, что R и Р не являются функциями W. Такое предположение справедливо для адаптивных КИХ-фильтров и приводит к (2.16). Для БИХ-фильтров в режиме адаптации это предположение несправедливо, так как R и Р включают в себя математическое ожидание произведений, зависящих от Используя определенные таким образом R и Р и полагая, что вектор весовых коэффициентов вычисляется по (2.16) и (8.28), получаем алгоритм последовательной регрессии для системы с бесконечной импульсной характеристикой простой заменой в Кроме того, необходимо заменить оценку градиента (8.3), подставляемую в (8.5) и, следовательно, в (8.37) на рекурсивную оценку градиента, рассмотренную выше. В результате (8.37) принимает вид
Как и при выводе рекурсивного алгоритма метода наименьших квадратов, в (8.54) вместо
Здесь а без индекса — константа в (8.25), а а с индексами — произведение в (8.50). Для этого алгоритма можно взять те же начальные условия, что и для алгоритма последовательной регрессии в (8.44). Кроме того, из (8.46) и (8.47) следует, что матрицы S и
Рис. 8.8. Адаптивное моделирование неизвестной системы В качестве примера рассмотрим схему идентификации, представленную на рис. 8.8. При начальном условии На рис. 8.9 показаны характерные кривые для алгоритма последовательной регрессии (8.60) и метода наименьших квадратов (8.55) в системе с бесконечной импульсной характеристикой. Эти кривые являются только примером широкого класса рассматриваемых алгоритмов, однако они отражают несколько характерных свойств этих алгоритмов.
Рис. 8.9. Процесс сходимости для алгоритмов наименьших квадратов (а, 800 итераций) и последовательной регрессии (б, 600 итераций). Здесь Во-первых, рабочая функция находится из (7.65) (упражнения 35—37 гл. 8). Аналогично примеру из гл. Во-вторых, как показано в гл. 7, для устойчивой работы адаптивного фильтра его полюсы должны располагаться внутри круга единичного радиуса. Таким образом, существует область устойчивой работы, показанная в виде треугольника на рис. 8.9, и коэффициенты b должны находиться в пределах этой области. Связь между этой областью и кругом единичного радиуса рассматривается в упражнении 12. Как отмечалось выше, весовые коэффициенты сначала полагаются равными
Для алгоритма последовательной регрессии при длине стационарного сегмента сигнала, равной 10 отсчетам, приняты начальные условия Однако алгоритм последовательной регрессии не дает хорошего приближения к методу Ньютона, по крайней мере в начальной стадии обучения, поскольку, как отмечалось выше, В примерах, аналогичных приведенному на рис. 8.9, траектория зависит от выбора М в (8.61), а также
|
1 |
Оглавление
|