Адаптивные рекурсивные фильтры

В гл. 7 обсуждалась возможность использования в адаптивной системе вместо адаптивного линейного сумматора рекурсивного фильтра. Рекурсивный фильтр, имеющий полюсы и нули, обладает такими же свойствами, как и рекурсивные фильтры, применяемые в инвариантных во времени системах [6].

С другой стороны, в гл. 7 показано, что в отличие от адаптивного линейного сумматора рекурсивные адаптивные фильтры имеют два недостатка:

1. При выходе в процессе адаптации полюсов фильтра за пределы круга единичного радиуса фильтр становится неустойчивым.

2. В общем случае рабочие функции фильтров являются неквадратичными и могут иметь локальные минимумы.

Из-за этих серьезных недостатков рекурсивные адаптивные фильтры находят очень ограниченное применение. Для предотвращения неустойчивой работы необходимо вводить какие-либо ограничения на коэффициенты фильтра, а при рабочей функции с многими экстремумами процесс адаптации осуществляется неправильно как методом наискорейшего спуска, так и методом Ньютона.

Рис. 8.5. Схема рекурсивного адаптивного фильтра

Относительно второго недостатка в момент написания книги появились сообщения о том, что если рекурсивный адаптивный фильтр имеет значительное число полюсов и нулей, то рабочая функция является унимодальной [7]. Таким образом, локальные минимумы можно исключить просто введением в фильтр дополнительных весовых коэффициентов.

Для вывода алгоритма работы рекурсивного адаптивного фильтра включим рекурсивный фильтр, приведенный на рис. 7.2, в стандартную адаптивную схему, как показано на рис. 8.5. Здесь вектор может быть входным сигналом системы как с одним, так и со многими входами, а — скалярная величина. Из (7.3)

Такая запись, соответствующая системе с одним входом, взята здесь для удобства анализа. Зададим зависящий от времени вектор весовых коэффициентов и некоторый новый вектор сигнала следующим образом:

Из рис. 8.5 и (8.45) можно записать

(8.48)

Это соотношение аналогично соотношению для нерекурсивной системы [например, (2.8)], основное отличие состоит в том, что включает в себя значения у их.

Рассмотрим сначала алгоритм наименьших квадратов и в соответствии с (6.2) запишем приближенное выражение для градиента:

Вычисление производных в (8.49) представляет особую задачу, так как теперь является рекурсивной функцией. Из (8.45) найдем

С учетом заданных таким образом производных

По аналогии с формулой (6.3) запишем алгоритм наименьших квадратов в виде

(8.53)

Здесь вместо параметра записана следующая диагональная матрица:

В случае неквадратичной рабочей функции имеем некоторый параметр сходимости для каждого а и другой множитель сходимости для каждого b. Можно даже полагать, что эти множители изменяются во времени. Подставляя текущие значения b в (8.50) и (8.51), получаем следующий алгоритм наименьших квадратов для рекурсивного адаптивного фильтра:

Начальные условия выбираются здесь так же, как выше, за исключением того, что пока не известны значения , их начальные значения приравниваются нулю. Отметим, что вектор сигнала задан выражением (8.47), а — один из весовых коэффициентов обратной связи вектора в (8.46).

Полезно представить алгоритм (8.55) в виде блок-схемы. Используя введенные в гл. 7 обозначения,

Для второго или третьего соотношения из (8.55) можно записать передаточную функцию

На рис. 8.6 приведен пример вычисления Полная схема адаптивного фильтра представлена на рис. 8.7. Здесь не показана схема коррекции весовых коэффициентов в соответствии с последним соотношением из (8.5).

Рис. 8.6. Схема формирования в (8.55)

Аналогичные схемы приводятся в [8] а также в [9], где впервые предложен рекурсивный алгоритм по методу наименьших квадратов. Различные модификации этого алгоритма рассмотрены в [8, 14, 15] и других работах.

В [10] представлен полный класс сверхустойчивых алгоритмов для адаптивных рекурсивных фильтров. Простейший из этих алгоритмов можно описать следующим образом [10—13]. Пусть в приблизительно равны соответственно. Тогда при оценке вместо будем использовать сглаженное значение полученное с помощью фильтрации Последнее является основным свойством рассматриваемого класса алгоритмов. В соответствии с этим

Здесь с — постоянные коэффициенты, предназначенные для получения при сглаживании Таким образом, простейший из этого класса алгоритм проще, чем (8.55). В некоторых случаях он оказывается [25] сходящимся и находит применение для подавления шума системах предсказания [13].

Выбор сглаживающих коэффициентов является пока предметом исследования и здесь не рассматривается.

Поскольку в общем случае для БИХ-фильтров с неквадратичной рабочей функцией затруднительно применять методы наименьших квадратов, приходится снова рассматривать приближения к методу Ньютона, хотя применение последнего может также оказаться затруднительным по той же самой причине. При замене X на U и использовании оценки градиента в системе с бесконечной импульсной характеристикой нетрудно получить для рекурсивных фильтров алгоритм вида последовательной регрессии. Таким образом, для нерекурсивной системы

Рис. 8.7. Схема реализации алгоритма (8.55) для рекурсивной:

Простейший способ получить рекурсивный алгоритм последовательной регрессии состоит в том, чтобы сначала заменить X на U в (2.11) и (2.13), при этом иначе определяются матрицы R и Р, а размерность возрастает с до 2L+1.

В результате такой замены рабочая функция системы с бесконечной импульсной характеристикой определяется соотношением (2.13). Далее необходимо найти градиент от (2.13) и положить, что R и Р не являются функциями W. Такое предположение справедливо для адаптивных КИХ-фильтров и приводит к (2.16). Для БИХ-фильтров в режиме адаптации это предположение несправедливо, так как R и Р включают в себя математическое ожидание произведений, зависящих от Однако после окончания процесса адаптации при стационарных входных сигналах матрицы R и Р становятся постоянными даже в системе с бесконечной импульсной характеристикой, поэтому можно считать, что при выполняется (2.16).

Используя определенные таким образом R и Р и полагая, что вектор весовых коэффициентов вычисляется по (2.16) и (8.28), получаем алгоритм последовательной регрессии для системы с бесконечной импульсной характеристикой простой заменой в на при этом все производные совпадают с производными для системы с конечной импульсной характеристикой.

Кроме того, необходимо заменить оценку градиента (8.3), подставляемую в (8.5) и, следовательно, в (8.37) на рекурсивную оценку градиента, рассмотренную выше. В результате (8.37) принимает вид

Как и при выводе рекурсивного алгоритма метода наименьших квадратов, в (8.54) вместо , введено М. Окончательно рекурсивный алгоритм последовательной регрессии принимает вид

Здесь а без индекса — константа в (8.25), а а с индексами — произведение в (8.50). Для этого алгоритма можно взять те же начальные условия, что и для алгоритма последовательной регрессии в (8.44). Кроме того, из (8.46) и (8.47) следует, что матрицы S и задаются в пространстве размерностью . Вопросы сходимости и устойчивости алгоритма (8.60) надо рассматривать для каждого конкретного приложения.

Рис. 8.8. Адаптивное моделирование неизвестной системы

В качестве примера рассмотрим схему идентификации, представленную на рис. 8.8. При начальном условии рекурсивный адаптивный фильтр осуществляет адаптацию по рабочей функции до точки и тем самым идентифицирует неизвестную систему. При действии на входе системы белого шума ошибка уменьшается до нуля при точно таких же значениях трех коэффициентов.

На рис. 8.9 показаны характерные кривые для алгоритма последовательной регрессии (8.60) и метода наименьших квадратов (8.55) в системе с бесконечной импульсной характеристикой. Эти кривые являются только примером широкого класса рассматриваемых алгоритмов, однако они отражают несколько характерных свойств этих алгоритмов.

Рис. 8.9. Процесс сходимости для алгоритмов наименьших квадратов (а, 800 итераций) и последовательной регрессии (б, 600 итераций). Здесь

Во-первых, рабочая функция находится из (7.65) (упражнения 35—37 гл. 8). Аналогично примеру из гл. в данном случае является квадратичной функцией относительно . Следовательно, на рис. 8.9 даны проекции рабочей функции на плоскости при этом они построены при оптимизированном значении для каждой пары . Однако построенные кривые отражают процесс адаптации а также

Во-вторых, как показано в гл. 7, для устойчивой работы адаптивного фильтра его полюсы должны располагаться внутри круга единичного радиуса. Таким образом, существует область устойчивой работы, показанная в виде треугольника на рис. 8.9, и коэффициенты b должны находиться в пределах этой области. Связь между этой областью и кругом единичного радиуса рассматривается в упражнении 12.

Как отмечалось выше, весовые коэффициенты сначала полагаются равными и в обоих случаях допускается, что они достигают своих оптимальных значений. Параметр М в соответствии с (8.54)

(8.61)

Для алгоритма последовательной регрессии при длине стационарного сегмента сигнала, равной 10 отсчетам, приняты начальные условия Отметим, что для метода наименьших квадратов траектория адаптации примерно совпадает с траекторией для метода наискорейшего спуска, однако при неквадратичной рабочей функции она носит колебательный характер около точки , что является типичным для БИХ-фильтров.

Однако алгоритм последовательной регрессии не дает хорошего приближения к методу Ньютона, по крайней мере в начальной стадии обучения, поскольку, как отмечалось выше, является функцией пока не достигнет своего оптимума. Однако около оптимума траектория для алгоритма последовательной регрессии более сглажена, чем в методе наименьших квадратов, и в данном примере для достижения оптимума при требуется меньшее число итераций.

В примерах, аналогичных приведенному на рис. 8.9, траектория зависит от выбора М в (8.61), а также , а и начальных значений весовых коэффициентов. Вопросы выбора М и построения наилучшего вида алгоритма являются предметом дальнейших исследований теории адаптивных БИХ-фильтров.