Шум управляемой системы и модифицированный алгоритм наименьших квадратов

Рассмотрим теперь общую задачу подавления шума в системе управления. Выше показано, что введение в адаптивную обратную модель весового коэффициента смещения решает задачу фильтрации низкочастотного дрейфа управляемой системы. Однако такой способ трудно использовать для фильтрации шума на более высоких частотах, что видно из рис. 11.22. Во многих физических системах шум управляемой системы можно представить в виде аддитивного, как правило, небелого, шума на ее выходе независимо от его источника внутри самой управляемой системы. Очевидно, что этот шум оказывает влияние на процесс обратного моделирования. Для адаптивного фильтра шум является аддитивным входным сигналом, не коррелированным с входным сигналом полезного отклика для системы управления. По мере прохождения процесса адаптации обратная модель достигает винеровского решения, которое в соответствии с (2.17) имеет вид . Шум управляемой системы не влияет на Р, но оказывает влияние на R и, естественно, на . В результате это приводит к тому, что оптимальные значения весовых коэффициентов в общем отличаются от значений, близких к обратной модели с задержкой. Таким образом, при высоком уровне шума способ управления с применением адаптивного обратного моделирования может оказаться неэффективным.

Рис. 11.22. Адаптивное обратное моделирование для системы с шумом

Рис. 11.23. Адаптивная обратная модель, включенная перед системой с адаптивным шумом

В связи с этим возникла необходимость разработки нового алгоритма — модифицированного алгоритма наименьших квадратов, который позволяет проводить адаптацию обратного фильтра, включенного перед управляемой системой. При таком способе (схема его реализации частично показана на рис. 11.23) на входе адаптивного фильтра нет шума управляемой системы. Ясно, что даже если шум является составляющей сигнала ошибки ей, как это видно из рис. 11.23, он не оказывает влияния на оптимальные значения весовых коэффициентов при условии, что можно правильно сформировать входной сигнал.

Положим, что модель имеет конечную импульсную характеристику, тогда среднеквадратическая ошибка в схеме на рис. 11.23 является квадратичной функцией весовых коэффициентов адаптивного фильтра. Следовательно, процесс адаптации может проходить относительно унимодальной рабочей функции. Но при использовании алгоритма наименьших квадратов для сравнения с сигналом на выходе модели необходимо иметь соответствующий полезный сигнал. Ни , ни не являются такими сигналами, так как — сигнал ошибки на выходе управляемой системы, а не адаптивного фильтра. При непосредственной адаптации обратного фильтра методом наименьших квадратов по сигналу адаптивный процесс почти наверняка будет неустойчивым или приведет к неправильному решению. Чтобы в этом случае использовать сигнал , необходимо коренным образом изменить адаптивный алгоритм и получить модифицированный алгоритм наименьших квадратов.

Для этого рассмотрим структуру алгоритма наименьших квадратов при его приложении к адаптации фильтра с конечной импульсной характеристикой. На рис. 11.24 приведена подробная схема его реализации. На рис. 11.24, а показаны аналогично рис. 6.1 общая схема и сигналы адаптивного фильтра, а на рис. 11.24, б — подробная схема реализации алгоритма наименьших квадратов (6.3). Обе структурные схемы представляют одну и ту же систему: более подробная схема необходима для построения модифицированного алгоритма наименьших квадратов.

Обратимся снова к схеме на рис. 11.23. Не учитывая пока шум управляемой системы, соединим ее с фильтром, как показано на рис. 11.25, а.

Рис. 11.24. Структурная схема адаптивного фильтра, реализующего алгоритм наименьших квадратов: а — общий вид, аналогичный рис. 6.1; б — схема фильтра, реализующего соотношение (6.3):

Перестройка весовых коэффициентов в такой схеме при минимизации среднеквадратической ошибки приводит к правильному результату в схеме на рис. 11.23, если не учитывать шум. Рассмотрим далее систему, приведенную на рис. 11.25, б. Здесь адаптивный фильтр и управляемая система P(z) включены так же, как на рис. 11.23. Если окажется, что адаптивный процесс, схема которого приведена на рис. 11.25, б, приводит к тому же множеству весовых коэффициентов, что и в схемах на рис. 11.25, а, б, то модифицированный алгоритм наименьших квадратов решает задачу адаптации в системе на рис. 11.23.

Из сравнения систем на рис. 11.25, а и б ясно, что при использовании алгоритма наименьших квадратов векторы входного сигнала для обеих систем одинаковы в течение всего времени. Однако сигналы ошибки не обязательно одинаковы в течение всего времени.

Рис. 11.25. Реализация модифицированного алгоритма наименьших квадратов

Они равны тогда, когда в течение всего времени одинаковы векторы весовых коэффициентов адаптивных фильтров, а управляемую систему и адаптивный фильтр можно поменять местами.

При одинаковых входных сигналах можно получить одинаковые выходные сигналы, если положение обоих последовательно включенных фильтров можно поменять при условии, что фильтры линейны и их параметры не изменяются во времени. Однако, как следует из рис. 11.24, б, адаптивный фильтр не является линейным, а его параметры меняются во времени. Кроме того, адаптивный фильтр и управляемую систему можно поменять местами, если эта система линейна и постоянные времени импульсных характеристик как управляемой системы, так и адаптивного фильтра больше суммы постоянных времени управляемой системы и адаптивного фильтра. Таким образом, при медленном процессе адаптации можно считать, что адаптивный фильтр является линейным и его можно заменить на P(z).

Положим, что управляемая система и адаптивный фильтр коммутативны и начальные векторы весовых коэффициентов в системах на рис. 11.25, а, б одинаковы, тогда эти векторы будут изменяться по одной и той же траектории. При таком условии адаптивный процесс в схеме на рис. 11.25, б соответствует решению задачи адаптации в системе на рис. 11.23.

Применение в различных системах модифицированного алгоритма наименьших квадратов в том виде, как он определен на рис. 11.25, б, показало, что он является сходящимся. Хотя в соответствии с приведенными доводами процесс адаптации при этом должен быть медленным, в большинстве случаев без особых трудностей достигается высокая скорость адаптации. В действительности оказывается, что модифицированный алгоритм функционирует так же, как собственно алгоритм наименьших квадратов. Выбор начальных условий для модифицированного алгоритма не играет большой роли. Он является устойчивым и имеет переходные процессы, аналогичные обычному алгоритму.

Для этого нового алгоритма снова необходимо рассмотреть влияние шума управляемой системы на оптимальные значения весовых коэффициентов. Применение модифицированного алгоритма в системе с шумом показано на рис. 1.25, б. Можно показать, что математическое ожидание значений адаптивных весовых коэффициентов одинаково в системах на рис. 11.25, б, в. Хотя шум управляемой системы не оказывает влияния на эту величину, он приводит к дополнительному относительному среднему значению ско.