Обратное z-преобразование

Из (7.24) и (7.25) следует, что обратное z-преобразованис любой рациональной функции можно найти, если разложить дробь и преобразовать ее в геометрический ряд. Однако для анализа систем с помощью методов наименьших квадратов требуется более удобная форма обратного преобразования.

Такая форма известна в области теории функций комплексной переменной и определяется выражением

Здесь принято, что замкнутый контур интегрирования представляет собой окружность с центром в начале координат -плоскости, к которому сходится в (7.1).

Справедливость равенства (7.26) легко доказать, подставив в (7.1) прямое преобразование. Тогда

(7.27)

Из теоремы Коши [5] получаем следующий общий результат:

В (7.27) — константа, поэтому ненулевым является только один член суммы при и этот член равен Таким образом, (7.27) переходит в тождество, что доказывает справедливость равенства (7.26).

Полезно также отметить, что подстановка

в (7.26) дает обратное преобразование частоты. Эта подстановка приводит к тому, что заменяется на и в качестве замкнутого контура интегрирования можно взять путь по окружности единичного радиуса от точки до точки (т. е. один оборот по окружности). Следовательно, (7.26) принимает вид

а множество отсчетов представлено здесь в виде спектральной функции По существу, это формула обратного преобразования Фурье.

Перейдем теперь к практическому вычислению интегралов вида (7.26), или, что то же самое (7.30). Если — полином от z, то в (7.26) является просто одним из коэффициентов полинома, зависящим от индекса k. Однако если является отношением полиномов, то необходимо воспользоваться теоремой об остатках [10], в которой утверждается, что

т. e. представляет собой сумму значений остатков подынтегральной функции во всех полюсах, находящихся внутри контура интегрирования.

Положим, что — рациональная функция z, тогда каждый из этих остатков находится следующим образом. Пусть — полюс входящий раз. Запишем

и остаток в точке

При для простого полюса

Таким образом, используя соотношения (7.31) — (7.34), получаем способ вычисления обратного преобразования для рациональной функции z. (Отметим, что в (7.31) при обычно существует дополнительный полюс в точке

Для иллюстрации этого способа снова рассмотрим пример, приведенный на рис. 7.1. Здесь для заданных при тогда (7.31) принимает вид

Поскольку в данном случае имеем простой полюс, можно воспользоваться выражением (7.34):

как показано на рис. 5.1. Отметим, что область значений индекса к, для которой существует обратное преобразование, не определяется интегральной формулой и, следовательно, должна быть задана.

В предыдущем примере и последовательность является правосторонней. Для левосторонних последовательностей наличие множителя в (7.26) затрудняет применение формулы (7.33) при вычислении остатка в точке Наиболее простым способом вычисления в этом случае является подстановка в формулы (7.1) и (7.26) для прямого и обратного преобразований переменной Такая подстановка изменяет любую последовательность на противоположную с точки зрения понятия право- и левосторонней последовательностей. Например, преобразование последовательности при при введении переменной и имеет вид , а обратное преобразование можно найти из соотношений (7.35), (7.36). Другие примеры вычислений приведены в упражнениях 16—18, 26, 27.