Алгоритм Фроста

Адаптивные устройства формирования лучей, использующие как алгоритм Гриффитса, так и пилот-сигнал, накладывают некоторые ограничения на прием сигнала в заданном направлении. Слабый полезный сигнал, приходящий по направлению приема, почти не влияет на чувствительность этих устройств по отношению к нему, но при этом есть тенденция к частичной режекции мощного сигнала, даже если он приходит точно по направлению приема. Для преодоления этого ограничения О. Фрост в [7, 8] предложил алгоритм, в котором по направлению приема чувствительность решетки остается фиксированной независимо от уровня полезного сигнала, приходящего по этому направлению.

На рис. 14.3 приведена структурная схема адаптивного устройства формирования лучей, работающего по алгоритму Фроста. Здесь снова для синхронизации составляющих полезного сигнала, приходящего по направлению приема на входы лииий задержек с отводами, используются задержки. Все линии задержки имеют одну и ту же длину.

Положим, что полезный сигнал приходит по направлению приема. Тогда можно считать, что составляющая этого сигнала на выходе системы получена от некоторого «эквивалентного устройства обработки» (рис. 14.3), которое представляет собой линию задержки с отводами с полезным сигналом на его входе.

Рис. 14.3. Схема адаптивного устройства формирования лучей по алгоритму Фроста. Каждый весовой коэффициент эквивалентного устройства обработки сигналов равен сумме соответствующих К весовых коэффициентов верхней схемы: ЛЗО — линия задержки с отводами

Выходной сигнал этого устройства соответствует составляющей полезного сигнала на выходе системы, если, как показано на рис. 14.3, каждое из значений весовых коэффициентов эквивалентного устройства обработки равно сумме значений соответствующих весовых коэффициентов адаптивного устройства обработки. Чтобы понять это более четко, можно записать прямоугольную матрицу значений весовых коэффициентов так, чтобы она совпадала с геометрическим расположением устройств умножения на весовой коэффициент в адаптивном устройстве обработки. Каждый весовой коэффициент эквивалентного устройства обработки должен иметь значение, равное сумме элементов соответствующего столбца матрицы.

Параметры эквивалентного устройства обработки можно выбрать так, чтобы при прохождении через адаптивное устройство формирования лучей полезный сигнал подвергался фильтрации с заданной частотной характеристикой. Если не требуется специальная фильтрация, то все весовые коэффициенты эквивалентного устройства обработки можно положить равными нулю, за исключением одного, имеющего единичное значение. При этом в направлении приема формируется плоская частотная характеристика с единичным коэффициентом передачи, и соответственно полезный сигнал появляется на выходе системы без искажений (если не считать аддитивный шум).

После того, как для заданного отклика по направлению приема выбраны и зафиксированы параметры или весовые коэффициенты эквивалентного устройства обработки, можно изменять весовые коэффициенты адаптивного устройства обработки при ограничении относительно их суммы по столбцам, как показано на рис. 14.3.

Весовые коэффициенты адаптивного устройства могут адаптироваться с целью минимизации мощности сигнала на выходе системы. Таким способом адаптивное устройство формирования лучей по алгоритму Фроста осуществляет фильтрацию полезного сигнала, приходящего по направлению приема, в соответствии с заданной передаточной функцией (в качестве которой можно взять просто единичный коэффициент передачи) и в то же самое время минимизирует мощность выходного сигнала. Поскольку в качестве полезного сигнала определен сигнал, приходящий по направлению приема, а любой некогерентный сигнал, приходящий по этому направлению, становится помехой, то минимизация мощности выходного сигнала приводит к тому, что сигнал на выходе системы является оценкой отфильтрованного полезного сигнала с минимальным среднеквадратическим отклонением.

Если заданная передаточная функция эквивалентного устройства обработки полезного сигнала равна единице по амплитуде и имеет линейно изменяющуюся или нулевую фазу, то составляющая полезного сигнала появляется на выходе системы неискаженной, но смешанной с аддитивной помехой. Следовательно, сигнал на выходе системы является оценкой полезного сигнала с минимальным среднеквадратическим отклонением. В [2, 5, 6] показано, что если помехи и полезный сигнал являются гауссовскими случайными процессами с нулевым средним значением, то такая оценка является также наилучшей оценкой полезного сигнала по критерию максимального правдоподобия. Поэтому иногда такое устройство обработки называют также адаптивным устройством максимального правдоподобия.

При отсутствии введенного выше ограничения минимизация мощности выходного сигнала приводит к обнулению всех адаптивных весовых коэффициентов и сигнала на выходе системы. Указанное ограничение необходимо для поддержания работоспособности системы и носит линейный характер, так как заключается в том, что линейные комбинации адаптивных весовых коэффициентов должны быть константами.

Если помехи не коррелированы со всеми другими составляющими сигнала или шума, то на выходе системы наблюдается увеличение мощности сигнала. Минимизация этой мощности приводит, в свою очередь, к тому, что адаптивное устройство формирования лучей формирует провалы ДН с целью режекции этих помех.

В адаптивном устройстве формирования лучей с алгоритмом Фроста имеется ограниченное число степеней свободы, и они распределяются некоторым оптимальным образом, так что на выходе минимизируется общая мощность направленных помех, ненаправленных шумов и шума приемника. Из-за указанных выше ограничений число степеней свободы меньше общего числа адаптивных весовых коэффициентов, и эта разница равна числу весовых коэффициентов эквивалентного устройства обработки сигналов.

Для адаптации весовых коэффициентов используется новый вид алгоритма наименьших квадратов, который минимизирует среднеквадратическую ошибку при имеющихся ограничениях. Подробно этот алгоритм обсуждается в упражнениях 7, 8. Здесь приводится более краткое изложение.

Пусть имеется К элементов антенны и каждый соединен с линией задержки с L отводами. Предположим, что для формирования луча по направлению приема используются задержки, как показано на рис. 14.3, поэтому принятые составляющие полезного сигнала синхронизированы в соответствующих точках линий задержки с отводами. Как описано выше, адаптивные весовые коэффициенты можно расположить в виде прямоугольной матрицы

(14.21)

Кроме того, в виде соответствующей прямоугольной матрицы можно записать входные сигналы устройств умножения на весовой коэффициент

(14.22)

Заданные весовые коэффициенты эквивалентного устройства обработки составляют некоторый вектор

(14.23)

Вводимое в схеме на рис. 14.3 ограничение можно выразить в виде

(14.24)

Алгоритм Фроста представляет собой итеративный процесс, для которого можно считать, что цикл адаптации состоит из двух шагов. На первом шаге для уменьшения мощности выходного сигнала адаптация осуществляется по алгоритму наименьших квадратов, на втором — проводится коррекция каждой суммы элементов каждого столбца (14.21) так, чтобы выполнялось (14.24). Коррекции равномерно распределяются по этим элементам. Когда условия оказываются выполненными, текущий, цикл адаптации является завершенным, и система готова для следующего цикла.

Поскольку в этом алгоритме минимизируется мощность на выходе, сигналом «ошибки» является выходной сигнал

Для первого шага, на котором уменьшение мощности на выходе осуществляется по алгоритму наименьших квадратов, можно записать

(14.25)

На первом шаге возникает ошибка относительно введенных ограничений, равная

(14.26)

На втором шаге для коррекции этой ошибки весовые коэффициенты перестраиваются следующим образом. Вектор коррекции

(14.27)

Далее, матрица коррекции

(14.28)

На втором шаге осуществляется сложение с матрицей значений весовых коэффициентов, т. е.

(14.29)

По завершении второго шага (т. е. цикла адаптации) выполняется условие (14.24). Алгоритм Фроста можно записать в виде суммы (14.25) и (14.29):

(14.30)

где находится из (14.28), (14.27) и (14.25).

Отметим, что алгоритм Фроста является гибким. Хотя он может показаться сложным, линейные ограничения легко реализуются в рекурсивных процессах оценки среднеквадратических значений. Кроме того, можно предложить алгоритмы с нелинейными ограничениями, но для таких алгоритмов трудно проводить доказательства сходимости и находить ее скорость.

Когда условия ограничения выбраны так, что решетка имеет по направлению приема единичный коэффициент передачи и линейно изменяющуюся или нулевую фазу, выходной сигнал решетки равен сумме неискаженного полезного сигнала и аддитивного шума. Выходной сигнал решетки представляет собой оценку максимального правдоподобия полезного сигнала.

Существуют другие разновидности адаптивных устройств формирования лучей, работающих по алгоритму Фроста. В [10, 11] приведен анализ одного из алгоритмов, который аналогичен рассматриваемому в гл. 12 адаптивному устройству подавления помех.

На рис. 14.4 приведена структурная схема, реализующая этот алгоритм. Как и в предыдущей схеме, здесь для синхронизации составляющих приходящего по направлению приема полезного сигнала используются задержки.

Рис. 14.4. Вариант адаптивного устройства формирования лучей по алгоритму Фроста

С точки зрения адаптивного подавления помех входной сигнал представляет собой отфильтрованную реализацию суммы этих задержанных сигналов антенны. Фильтр обладает импульсной характеристикой, соответствующей вектору С (14.23). Если не нужна фильтрация полезного сигнала, то можно считать, что коэффициент передачи фильтра на всех частотах равен единице. В этом случае входной сигнал состоит из суммы полезного сигнала, приходящего по направлению приема, и помехи.

Снова обратимся к рис. 14.4. Поскольку синфазные полезные сигналы, снимаемые с отдельных ненаправленных элементов, попарно вычитаются, эталонные сигналы не имеют составляющих полезного сигнала, а содержат только помеху и подаются на ряд адаптивных фильтров (линий задержки с отводами), затем суммируются, и результат вычитается из входного сигнала. В итоге сигнал на выходе системы равен сумме полезного сигнала (или соответствующим образом отфильтрованного полезного сигнала) и помехи. При К элементах антенны число адаптивных фильтров составляет . Поскольку значение каждого из L весовых коэффициентов каждого адаптивного фильтра не подвергается ограничениям, число степеней свободы равно , что аналогично исходному устройству обработки по алгоритму Фроста с KL весовыми коэффициентами.

В [11] показано, что система на рис. 14.4 обладает свойством находить такое же оптимальное решение, как и исходная система на рис. 14.3.

Однако постоянные времени адаптации для обеих систем могут быть неодинаковыми.

Приведенная на рис. 14.4 система является простой для понимания и применения. При ее реализации можно использовать почти любой алгоритм адаптации. На процесс адаптации не накладывается никаких ограничений, однако передаточная функция системы по направлению приема является заданной.

Рассмотренные устройства, а также приведенные в гл. 13 устройства с пилот-сигналом имеют различное математическое описание, хотя в большинстве практических случаев они обладают аналогичными свойствами. Все устройства стремятся подавить помехи и уменьшить боковые лепестки при наличии ненаправленного шума. Эти устройства обычно относят к «полностью» адаптивным устройствам формирования лучей в отличие от устройств подавления боковых лепестков, имеющих, как правило, меньшее число весовых коэффициентов и, следовательно, меньшее число степеней свободы.