Коэффициент, характеризующий относительную точность оценки параметра, и некоторые практические примеры

Из уравнений (5.98) и (5.99) следует, что относительное среднее значение СКО обратно пропорционально относительному приращению Р. Поэтому может показаться, что увеличивая его, относительное среднее значение СКО можно сделать сколь угодно малым. Ниже показано, что неограниченное увеличение относительного приращения невозможно.

По определению относительное приращение является безразмерным параметром, отражающим степень влияния, которое оказывает неточность измерения компонентов градиента на СКО. Из равенства (5.16) следует, что относительное приращение представляет собой отклонение СКО, нормированное относительно ее минимального значения. Относительное приращение в большей степени аналогично относительному среднему значению СКО и фактически является его разновидностью, возникающей из-за измерения градиента адаптивной системы в автономном режиме.

Поэтому коэффициент, характеризующий точность оценки параметра, для такой системы можно определить как сумму двух относительных средних значений СКО, одно из которых возникает из-за случайного отклонения, другое — из-за независимого неслучайного отклонения установившегося вектора весовых коэффициентов:

(5.106)

Для обоих рассмотренных в этой главе методов с учетом (5.98) и (5.99)

наискорейшего спуска.

Отметим, что как (5.107), так и (5.108) дают значение в виде , где А не является функцией Р. Приравнивая нулю производную такого соотношению по переменной Р, можно найти оптимальное значение , минимизирующее . Для обоих случаев

Таким образом, рассматриваемый коэффициент минимален, когда относительное приращение примерно равно его половине.

Для демонстрации приложения этих результатов полезно привести численный пример. Предположим, что в некотором конкретном случае считают допустимым относительное среднее значение ошибки 10%. Кроме того, предположим, что адаптивная система имеет адаптивный фильтр с десятью весовыми коэффициентами и что все собственные значения матрицы R равны, поэтому относительные средние значения ошибки для метода Ньютона и наискорейшего спуска также равны. Отсюда оптимальное значение Р равно 5%, а постоянную времени адаптации находим из соотношения

Следовательно,

(5.110)

Если считать, что время сходимости адаптивного процесса равно примерно , то переходные процессы, связанные с адаптацией, закончатся через 20 000 отсчетов данных. Для заданного фильтра с десятью весовыми коэффициентами и относительным средним значением СКО 10% такое количество данных является слишком большим.

Тем не менее, для адаптивной системы в автономном режиме и заданного метода оценки градиента оно приводит к наилучшим достижимым результатам.

Однако при проектировании системы с адаптивными свойствами существует, по крайней мере, одна возможность улучшения характеристик. Если позволяют условия, то можно добиться лучших характеристик, благодаря измерению градиента в дополнительной измерительной адаптивной системе, в которую можно вносить относительное приращение, не оказывая влияние на основную информационную адаптивную систему. Схема, реализующая такой способ, представлена на рис. 5.5, а относительное среднее значение СКО определяется соотношением (5.98) для метода Ньютона и соотношением (5.99) для метода наискорейшего спуска. Рассмотренная выше система с десятью весовыми коэффициентами при относительном среднем значении СКО, равном 10%, и относительном приращении 20% имеет постоянную времени адаптации, которую находим из соотношения

откуда

(5.111)

В этом случае постоянная времени значительно меньше, но по-прежнему велика.

Поскольку относительное приращение, вносимое в измерительную систему, не приводит к увеличению относительного среднего значения СКО информационной адаптивной системы, как это следует из рис. 5.5, то может показаться, что за счет произвольного увеличения относительного приращения можно достичь самой точной оценки градиента. Однако выбор очень большого значения Р приводит к нарушению условий, при которых соотношение (5.33) получено из (5.32).

Рис. 5.5. Схема адаптации с измерительной адаптивной системой, предназначенной для уменьшения влияния относительного приращения, вносимого при оценке градиента. Здесь процесс оценивания градиента не оказывает влияния на выходной сигнал

Эти условия состоят в том, что значение Р мало, а вектор весовых коэффициентов системы после адаптации близок к оптимальному. Следовательно, выбор большого значения Р в конечном «тоге приводит к увеличению относительного среднего значения СКО.

Заканчивая рассуждения, связанные с практическими приложениями, можно упомянуть еще один способ повышения эффективности адаптивной системы на основе представленной на рис. 5.5 структуры. Если возможно функционирование измерительной системы со скоростью, значительно превышающей скорость входного сигнала, то можно повторно вводить входные данные и для одних и тех же данных осуществлять на каждой итерации измерение всех компонентов вектора градиента. Хотя здесь не приводится анализ такой системы, можно показать, что в этом случае относительное среднее значение СКО растет пропорционально первой, а не второй степени числа весовых коэффициентов. Еще одним способом, эквивалентным повторному вводу данных, является использование множества измерительных систем, каждая из которых предназначена для измерения одного компонента вектора градиента на каждой итерации.