Частотный отклик

Простая замена z на , где — нормированная частота, позволяет получить дискретное преобразование Фурье (ДПФ) для определяемого ниже по (7.22) импульсного отклика, т. е. получить по передаточной функции частотный отклик линейного фильтра.

Чтобы показать это, разделим сначала в (7.8) на :

Отметим, что здесь только для положительных , поскольку только для положительных . Таким образом, любой каузальный рекурсивный фильтр эквивалентен каузальному нерекурсивному фильтру бесконечной длины. Из (7.3) и (7.9)

Соотношение (7.10) также описывает каузальный линейный фильтр.

Для нахождения частотного отклика фильтра, заданного в (7.10) множеством коэффициентов предположим, что является множеством отсчетов синусоиды с единичной амплитудой и некоторой заданной частотой , и затем вычислим При этом

Тогда в (7.10) имеем

Поскольку для получения синусоиды синусоида умножается на величину, стоящую в скобках, эта величина должна быть частотным откликом фильтра, т. е. определять коэффициент передачи и фазовый сдвиг на частоте .

Но величину, стоящую в скобках, можно получить подстановкой в (7.8) или (7.9) и вместо . Поэтому для любого линейного фильтра типа фильтра, представленного на рис. 5.2, имем

Из (7.13) видно, что частотный отклик является периодической функцией , поскольку не изменяется при увеличении на любую величину, кратную . Более того, если вместо подставить то

Поскольку коэффициенты являются действительными числами, имеем

Поэтому передаточная функция определяется только для . Эта частотная область называется интервалом Найквиста, причем частота называется центральной частотой, а частота отсчетов .

При необходимости записи в (7.11) в виде функции времени, а не в виде зависимости от номера отсчета k полагаем

где Q — частота, рад/Гц; f — частота, Гц; — временной шаг (интервал между отсчетами), с, так что в показателе экспоненты появляется величина . Далее, на частоте или 1/27 Гц, находится центральная частота, равная половине частоты отсчета.

Конкретный пример частотного отклика приведен на рис. 7.3. Здесь передаточная функция

Частотный отклик в этом случае

Амплитуда и фаза частотного отклика называются коэффициентом передачи по амплитуде и фазовым сдвигом фильтра. Из (7.18) имеем

Рис. 7.3. Пример частотного отклика цифрового фильтра: а) схема фильтра; б) частотный отклик; в) полюса и нули на z-плоскости

Для данного примера на рис. 7.3 построены зависимости коэффициента передачи по амплитуде и фазового сдвига. Помимо коэффициента передачи по амплитуде применяют коэффициент передачи по мощности, который равен квадрату коэффициента передачи по амплитуде и иногда задается в децибелах. Таким образом,

На рис. 7.3 также показано влияние полюсов и нулей функции на коэффициент передачи и фазовый сдвиг. Для получения частотного отклика в (7.13) принято и поэтому при изменении от 0 до центральной частоты переменная z совершает движение по верхней половине круга единичного радиуса на z-плоскости. Когда со принимает такое значение, что 2 находится около полюса, коэффициент передачи является большим, как это имеет место при на рис. 7.3. При прохождении 2 вблизи или через полюс или нуль на окружности единичного радиуса фазовая характеристика, как показано на рис. 7.3, резке изменяется.