Измерение производной и ошибка измерения в системах с многими весовыми коэффициентами

На рис. 5.2 приведен пример измерения производной при оценке двумерного градиента. Из (2.33) для системы с двумя весовыми коэффициентами получаем, что квадратичная рабочая функция

Рис. 5.2. Измерение двумерной производной

При измерении частной производной этой рабочей функции по координате аналогично (5.9) имеем следующее нормированное значение ошибки измерения в виде относительного приращения:

Аналогично относительное приращение при измерении частной производной по координате

Полагая, что для измерения каждого компонента градиента требуется одинаковое время (т. е., как и выше, для каждого измерения берется отсчетов данных), получаем среднее значение относительного приращения для всего измерения:

Определим теперь общее понятие относительно приращения для L+1 весовых коэффициентов как среднее значение отдельных измерений компонентов градиента:

Поскольку след матрицы R равен сумме ее собственных значений, а также сумме ее диагональных элементов, (5.14) можно записать в виде

Более того, так как сумма собственных значений, деленная на их количество, есть среднее значение собственных значений, (5.15) можно записать как

Это соотношение является общепринятым выражением относительного приращения для любого числа весовых коэффициентов при измерении градиента методом, иллюстрируемым рис. 5.2.