Упражнения

1. Какая информация необходима для достижения идеальной кривой адаптации весовых коэффициентов, представленной на рис. 8.1? Почему такой информации нет в адаптивных фильтрах?

2. Объясните различие между кривыми адаптации весовых коэффициентов на рис. 8.1 и 8.2.

3. Каково отношение времени адаптации идеального алгоритма к времени адаптации метода наименьших квадратов? При каких условиях оно равно 1?

4. Выведите формулу вычисления через для алгоритма последовательной регрессии. Какова эквивалентная передаточная функция преобразования в ?

Примечание. В некоторых из последующих упражнений необходимы последовательности для которых Однако для работы на малых ЭВМ их можно укорачивать. Последовательности формируются следующим образом:

Последовательность — случайный белый шум единичной мощности, который формируется подпрограммой RANDOM версии 1 или 2 в приложении А. Синусоидальная последовательность имеет медленно изменяющийся период, последовательность — группа экспоненциальных импульсов, следующая с интервалами в 40 отсчетов.

5. Ниже приведена схема одношагового устройства предсказания. Запишите формулу алгоритма наименьших квадратов для перестройки на каждой итерации. Чему равно максимальное полезное значение параметра ?

6. По результатам упражнения 5 постройте зависимость от для Кроме того, постройте зависимости от Постройте также обучающую кривую, вычисляя при этом усреднением и 20 ближайших соседних значений.

7. На основании равенства (8.44) запишите в явном виде алгоритм последовательной регрессии для устройства предсказания из упражнения 5. Каково значение в этом случае?

8. Постройте зависимость от по результатам упражнения 7 при . Помимо этого постройте зависимости от . Постройте также обучающую кривую по методике упражнения 6.

9. Из (8.44) получпте модифицированный алгоритм последовательной регрессии для случая стационарного сигнала и Выведите равенство, соответствующее равенству (8.27). Каково поведение выведенного алгоритма при неограниченном росте ?

10. Для системы идентификации с бесконечной импульсной характеристикой (рис. 8.8) на основании равенства (8.55) запишите в явном виде выражение алгоритма наименьших квадратов.

11. Использовав в качестве входной последовательности, примените метод наименьших квадратов для системы с бесконечной импульсной характеристикой к схеме на рис. 8.8 при . Постройте зависимости от Кроме того, постройте обучающую кривую, аналогичную кривой из упражнений 6 и 8.

12. Докажите, что для достижения устойчивости адаптивного рекурсивного фильтра второго порядка, т. е. соответствия треугольников, показанных на рис. 8.9, окружностям единичного радиуса на z-плоскости, точка должна располагаться внутри треугольников.

13. На представленной ниже схеме показан обеляющий фильтр. При начальном условии перестройте весовые коэффициенты так, чтобы адаптивный фильтр скомпенсировал канал, за исключением задержки распространения Запишите алгоритм наименьших квадратов для этого примера и постройте обучающую кривую для Оцените остаточную ошибку .

14. Выполните упражнение 13, использовав алгоритм последовательной регрессии для . Сравните построенную обучающую кривую с обучающей кривой для метода наименьших квадратов.

15. Представленная ниже схема аналогична схеме упражнения 13, за исключением того, что сюда включен адаптивный БИХ-фильтр. Запишите для этой системы алгоритм наименьших квадратов. Выберите подходящие значения n постройте обучающую кривую. Найдите конечное среднее значение и сравните с результатами упражнения 13.

16. По данным упражнения 15 постройте зависимости коэффициентов от k.

17. Выполните упражнение 13, используя в качестве входного сигнала определенную выше последовательность Объясните различия в полученных результатах.

18. Выполните упражнение 14, использовав в качестве входного сигнала последовательность

19. Выполните упражнение 15, использовав в качестве входного сигнала последовательность

20. Выполните упражнение 13, использовав линейный алгоритм случайного поиска, при этом для получения каждой оценки примите наблюдений, а — равным параметру из упражнения 13. Доведите до такого значения, при котором теоретическое относительное среднее значение СКО составит

21. Постройте решетчатую структуру, эквивалентную приведенному ниже устройству адаптивного предсказания.

22. Нарисуйте схему решетки, приведенной на рис. 8.13, используя лестничные элементы с тремя перемножителями.

23. Постройте решетку с передаточной функцией Найдите модификацию структуры, в которой осуществляется вычисление и сравнение первых пяти отсчетов импульсной характеристики.

24. Для приведенной ниже схемы устройства одношагового предыскажения найдите оптимальные значения выраженные через коэффициенты корреляции входного сигнала.

25. Преобразуйте схему из упражнения 24 в решетчатую структуру. Выразите коэффициенты решетки через коэффициенты корреляции входного сигнала, использовав при этом результаты упражнения 24.

26. Для решетки предсказания, состоящей из двух ячеек, выразите оптимальные весовые коэффициенты через коэффициенты корреляции входного сигнала, использовав при этом равенства (8.100), (8.99) и (8.102). Сравните полученный результат с результатами упражнения 25.

27. Для приведенной ниже схемы постройте зависимость от k при применив в схеме алгоритм (8.121) при и мощности сигнала, равной мощности входного сигнала.

28. Для устройства предназначения из упражнения 27 постройте зависимости ко, и от при Объясните ход этих зависимостей.

29. Найдите выражение для рабочей функции устройства предсказания из предыдущего упражнения в окрестности точки

30. Для системы из упражнения 27 положим, что и что в нее включена решетка, состоящая из двух ячеек с коэффициентами Найдите выражение для рабочей функции и постройте график, аналогичный графику на рис. 8.19.

31. Каковы оптимальные значения весовых коэффициентов для системы и» упражнения 27?

32. Каковы оптимальные значения весовых коэффициентов в системе на упражнения 27, если вместо последовательности использовать последовательность

33. Для приведенной ниже системы выберите подходящие начальные условия рассмотрите ее работу для равном 0,2 максимального начального значения в (8.106). Постройте обучающую кривую, при этом находите оценку усредняя каждое значение и десять ближайших соседних значений. Оцените постоянную времени.

34. Использовав вместо последовательность рассмотрите работу системы из упражнения 33 до момента, когда достигнет установившегося значения. Объясните соотношение между этим значением,

35. Пусть на Чему равны

36. Для системы на рис. 8.8 найдите выражение для рабочей функции Вывод начните с равенства (7.65).

37. Покажите, что рабочая функция системы на рис. 8.8 имеет один глобальный минимум в пределах области устойчивости плоскости