Решетчатые структуры

До сих пор при рассмотрении адаптивных алгоритмов приводились примеры реализации адаптивных систем только в обычной форме. Так, для нерекурсивных систем в гл. 2 описан трансверсальный адаптивный фильтр, для рекурсивных систем на рис. 7.2 приведена обычная схема их реализации. В более общем случае существуют, по меньшей мере, четыре вида реализации или структур, которые могут быть использованы для адаптивной обработки сигналов: обычная, каскадная, параллельная, решетчатая.

Предположим, что имеется рекурсивный фильтр с одним входом с передаточной функцией, подобной (7.8):

Эта запись характерна для обычной структуры ?. Каскадную структуру получают из обычной за счет разложения на множители (как правило, .на множители второго порядка), а параллельную структуру — из каскадной за счет раскрытия дроби [20]. Последние две структуры находят широкое применение в адаптивной обработке сигналов, каскадная структура является предметом исследования в [21].

Кроме того, из (8.64) можно получить различные решетчатые структуры, которые применяются в адаптивной обработке, в частности в системах линейного предсказания [22, 23]. Рассмотрим сначала способы приведения (8.64) к решетчатой структуре. В [18] разработан следующий алгоритм. Перепишем (8.64):

Здесь X и Y — преобразования входного и выходного сигналов, индекс L — размерность фильтра, предполагается всегда равным 1.

Из (8.66) построим последовательность полиномов более низкого порядка для :

Здесь введены для . Кроме того, по определению, Далее значения коэффициентов будут использованы в качестве коэффициентов решетки. Для того чтобы показать это, отметим, что многократной подстановкой равенства (8.71) можно получить

Но по определению и из (8.64) имеем

Следовательно, можно переписать (8.72):

Подставляя z-преобразование сигналов из (8.65), получаем

Это соотношение будет использовано для описания решетчатой структуры, но сначала необходимо получить один дополнительный результат. В [19] показано, что

Доказательство этого соотношения здесь не приводится, а лишь иллюстрируется ниже в примере. Можно переписать (8.76) для элемента решетки, на основе которого затем формировать решетчатую структуру в соответствии с (8.65). Из (8.76) имеем

или

Рис. 8.10. Элемент решетки с двумя устройствами умножения, соответствующий выражениям (8.77) и (8.78) или

Если в качестве z-преобразования входного сигнала взять , то, как показано на рис. 8.10, выражения (8.77) и (8.78) реализуют элемент решетки. Отметим, что все суммируемые входные сигналы являются положительными, а направление сигнала обозначается стрелкой.

Объединим теперь эти элементы решетки в каскадную структуру, как показано в примере на рис. 8.11 для L = 3.

Рис. 8.11. Пример решетки с L=3 на основе элемента с двумя устройствами, умножения

В правой части этой структуры имеются два узла, для которых в схеме на рис. 8.10, т. е.

Это следует из (8.73). Поскольку эти сигналы равны, оба узла в правой части схемы на рис. 8.11 всегда соединены.

В левой части структуры имеются узлы, для которых в схеме на рис. 8.10, поэтому

Таким образом, найден входной сигнал структуры Из рис. 8.10 видно, что в каждом узле нижней части структуры на рис. 8.11 формируется член суммы (8.75), и, таким образом, решетчатая структура эквивалентна обычной реализации формулы (8.64).

В [27] доказана теорема, утверждающая, что полюсы функции (8.64) находятся внутри круга если для всех l. Поэтому при решетка является устойчивой.

Перед тем как привести пример, отметим, что можно получить лестничную структуру, эквивалентную схемам на рис. 8.10, 8.11. Для этого подставим (8.77) в (8.78):

Равенство (8.82) описывает элемент лестничной структуры на рис. 8.12, который является эквивалентом элемента (8.77) на рис. 8.10. Кроме того, существует элемент решетки с одним перемножителем; коэффициенты получены в [18].

В качестве более конкретного примера решетчатой структуры рассмотрим решетку, полученную преобразованием фильтра второго порядка. Из (8.67) — (8.71) имеем

и

Рис. 8.12. Элемент лестничной структуры с тремя устройствами умножения, эквивалентный приведенному на рис. 8.10

Отсюда легко найти коэффициенты обычной структуры, выраженные через коэффициенты решетчатой структуры. Результаты приведены в табл. 8.2. Отметим, что для устойчивости системы должен быть меньше единицы.

Таблица 8.2. Преобразования коэффициентов для L = 2

Рассмотрим теперь два частных случая общей решетчатой структуры. На рис. 8.13 приведена схема первого примера, для которого в (8.64) полагаем

и тогда передаточная функция не имеет нулей и обладает только полюсами. Подставляя (8.88) в (8.70) и (8.71), находим

Таким образом, схема на рис. 8.13 представляет собой вариант схемы на рис. 8.11 с передаточной функцией без нулей. Из (8.73) видно, что выходной сигнал в правой части схемы равен . Данная схема является лишь частным случаем общей решетчатой структуры. Отметим, что система, приведенная на рис. 8.13, устойчива тогда, когда для всех l.

Рис. 8.13. Вариант схемы без нулей, приведенной на рис. 8.11, при в (8.65)

Другой частный случай представляет собой систему с передаточной функцией без полюсов, которую можно получить преобразованием решетки с передаточной функцией без нулей. Для этого перепишем (8.77) и (8.78) в виде

Схема преобразованного элемента решетки рис. 8.10 приведена на рис. 8.11, где -преобразование входного сигнала. Объединяя эти элементы в решетку, имеем структуру, пример которой для L = 3 представлен на рис. 8.15. Из (8.73) имеем на входных узлах левой части решетки , а в правой верхней части — полезный выходной сигнал, -преобразование которого не имеет полюсов:

Таким образом, на рис. 8.15 имеем решетчатую структуру трансверсального (гл. 2) или нерекурсивного (гл. 7) фильтра с начальными весовыми коэффициентами, равными 1.

Рис. 8.14. Вариант элемента решетки с двумя устройствами умножения, приведенного на рис. 8.10

Рис. 8.15, Вариант схемы на рис. 8.13 без полюсов на основе элемента решегкп на рис. 8.14 при

В нижней правой части на рис. 8.15 получен вторичный выходной сигнал, что соответствует передаточной функции

Видно, что решетка на рис. 8.15 с передаточными функциями (8.92) и (8.93) функционирует как одношаговое устройство предсказания. Рассмотрим эквивалентную схему этого устройства, представленную на рис. 8.16. На рис. 8.16, а приведена система, ранее показанная на рис. 1.4, причем задержка предсказания а фильтром предсказания является адаптивный линейный сумматор с весовыми коэффициентами Отметим, что поскольку начинается с 1, схема на рис. 8.16, а представляет собой одношаговое устройство предсказания.

Рис. 8.16. Предсказание на один шаг (а) и фильтрация по одному шагу (б)

Рис. 8.17. Адаптивная решетка предсказания на один шаг с L = 3

Как следует из приведенной на рис. 8.16, а второй эквивалентной схемы, передаточная функция устройства — поэтому выходной сигнал называют ошибкой предсказания. Предсказание текущего отсчета осуществляется по первым L предыдущим отсчетам ОТ до

Аналогичным образом выходной сигнал схемы на рис. представляет собой ошибку фильтрации. Здесь измерение отсчета осуществляется по отсчетам от до . В этом случае весовыми коэффициентами являются . На нижнем рис. 8.16, б приведена эквивалентная схема, описываемая формулой (8.93). На рис. 8.17 представлена полная схема для в которой вычисляются ошибки предсказания и ошибка измерения . Здесь показаны весовые коэффициенты поэтому устройство может быть адаптивным. Промежуточные сигналы предсказания и измерения обозначены соответственно они будут использованы для анализа в следующем разделе. Таким образом, для рассматриваемой схемы