Корреляционные функции и энергетические спектры

В большинстве случаев при анализе адаптивных фильтров предполагают, что входные сигналы обладают неизменными за период анализа статистическими свойствами (даже если это не совсем так).

Поэтому целесообразно рассмотреть сигналы, которые являются либо периодическими, либо стационарными случайными последовательностями отсчетов. Свойства таких сигналов можно описывать с помощью корреляционных функций, которые для адаптивного линейного сумматора с одним входом определяются по аналогии с выражениями (2.11) и (2.12):

Здесь математическое ожидание находится по k. Отметим также, что автокорреляционная функция является частным случаем более общей взаимокорреляционной функции при в (7.38). Если средние значения не зависят от k, то представляют собой один и тот же относительный сдвиг между х и у, и

Таким образом, автокорреляционная функция является четной функцией, т. е.

Введем теперь определение дискретного энергетического спектра в виде -преобразования обеих корреляционных функций (7.37) (7.38). Тогда

Отметим, что — здесь также лишь частный случай функции при . Аналогично тому, как это сделано выше в разделе, посвященном рассмотрению частотного отклика, можно вместо подставить и получить выражение для энергетического спектра в терминах частоты:

Эта запись по существу представляет собой дискретное преобразование Фурье функции задающее распределение произведений отсчетов по частоте, где, как и ранее, при половине скорости отсчета.

Важным свойством, следующим из (7.39), является свойство симметрии энергетического спектра.

При перестановке местами сигналов та у имеем соответствующую перестановку по времени в (7.39):

Здесь подстановка вместо z означает комплексное сопряжение, если z находится на окружности единичного радиуса, что всегда справедливо при рассмотрении частотной характеристики.

Рассмотрим теперь соотношение между энергетическими спектрами и передаточными функциями. Положим, что связаны некоторой линейной передаточной функцией как показано на рис. 7.4, что, в свою очередь, эквивалентно схеме на рис. 7.2. Здесь задана в виде (7.10), поэтому реальный фильтр может быть как рекурсивным, так и нерекурсивным. Подставляя (7.37) и (7.10) в (7.41), получаем

Поскольку математическое ожидание любой суммы равно соответствующей сумме математических ожиданий, оператор Е в (7.45) можно внести под знаки суммирования. Кроме того, меняя порядок суммирования, получаем

Далее, подставляя индекс находим искомое соотношение для передаточной функции

Проводя аналогичные преобразования, получаем следующее соотношение между передаточными функциями Ф

Рис. 7.4. Схема, эквивалентная приведенной на рис. 7.2

Отметим, что в четвертом равенстве точки отсчетов последовательности сдвинуты друг относительно друга на шагов, поэтому математическое ожидание их произведения равно . Далее, как в (7.46) и (7.47), окончательный результат получен после замены индекса суммирования. При выводе последнего соотношения сделано предположение, что z находится на окружности единичного радиуса.

Положим теперь, что — некоторая последовательность отсчетов, представляющая собой, как и последовательности связанные равенством (7.10), стационарную случайную последовательность. Тогда по аналогии с соотношениями (7.45) — (7.47) можно вывести формулу взаимного спектра:

При замене в этих выражениях d на получаем соотношение (7.47).

Кроме того, чтобы выразить корреляционную функцию через энергетический спектр, воспользуемся формулой обратного преобразования (7.26). Поскольку в (7.41) есть по определению преобразование от , то из (7.26)

В частности, при

Последнюю величину, равную среднеквадратическому значению называют полной (средней) мощностью последовательности Отметим, что в частотном представлении (7.53) эквивалентно выражению

так же, как (7.26) — выражению (7.30). Таким образом, мощность равна интегралу от дискретного энергетического спектра.

В заключение данного подраздела выпишем следующие основные соотношения:

Если х, у и d — стационарные сигналы и , то при , расположенном на окружности единичного радиуса,