Отметим, что в первом примере сумма сходится только тогда, когда 
так что слагаемые ряда убывают с ростом k. Аналогично второе преобразование сходится только тогда, когда 
, а третье преобразование — если 
. Таким образом, для право- и левосторонних последовательностей справедливы следующие правила:
Если 
— левосторонняя последовательность, то преобразование 
сходится при 
а его полюсы расположены на границе или вне области 
Если 
— правосторонняя последовательность, то преобразование 
сходится при 
а его полюсы расположены на границе 
внутри области 
.
Эти правила являются общими и не дают точной области сходимости 
на z-плоскости. Например, в случае 
при 
область сходимости зависит от а, но всегда включает область вне единичного круга, определяемую неравенством 
Для всех последовательностей полагаем, что отсчеты 
являются конечными и остаются ограниченными по мере увеличения 
Существуют случаи, например для рассматриваемых в этой главе корреляционных функций или некаузальных фильтров (см. гл. 10), когда желательно иметь преобразование двусторонней последовательности даже если область сходимости вообще не существует. Обычно в этих случаях удобно или не суммировать двусторонние ряды, как это сделано в (7.70), или же рассматривать отдельно право- и левостороннюю составляющие всей последовательности (см. гл. 10). Например, преобразование 
для 
равно взятому с обратным знаком преобразованию из предыдущего примера, в котором 
для 
но обе области сходимости не пересекаются. Поэтому полного двустороннего z-преобразования не существует несмотря на то, что всю последовательность можно в соответствии с (7.70) представить двусторонним рядом.
и строится вправо по мере увеличения 
Левосторонняя последовательность строится от 
влево по мере уменьшения k, а двусторонняя последовательность направлена в обе стороны от 
. В соответствии с (7.1) можно найти преобразование для всех последовательностей, но области значений 2, для которых (7.1) сходится, при этом различны. Рассмотрим следующие примеры:
