Применение адаптивного моделирования при синтезе цифровых КИХ-фильтров

Методы адаптивного моделирования можно использовать при синтезе цифровых фильтров. На рис. 9.13 приведена структурная схема, иллюстрирующая основной принцип синтеза цифровых фильтров с конечной импульсной характеристикой. В результате процесса адаптации адаптивный фильтр имеет импульсную характеристику, наилучшим образом удовлетворяющую заданные требованиям. Этим требованиям отвечает некоторое эталонное устройство, представленное в схеме в виде эталонного фильтра Эталонный фильтр может не существовать, поскольку в общем случае фильтр, полностью удовлетворяющий заданным требованиям, может быть физически нереализуемым. В этом случае эталонный фильтр является только некоторым описанием, вводимым для приведения задачи синтеза фильтра к задаче моделирования неизвестной системы. Далее будет показано, что для синтеза реальных фильтров не обязательно, чтобы эталонный фильтр существовал физически.

Предположим, что требования к фильтру заданы в виде частотной характеристики, т. е. в виде заданных значений коэффициента передачи и фазы для дискретных частот , измеренных в герцах. Вообще говоря, задается также число весовых коэффициентов цифрового фильтра, что определяет размерность адаптивного фильтра L. В процессе адаптации находятся оптимальные весовые коэффициенты (по критерию минимума среднеквадратической ошибки), при которых наилучшим образом выполняются заданные требования.

В схеме на рис. 9.13 адаптивный фильтр моделирует эталонный фильтр, построенный исходя из заданных требований, которые в большинстве случаев нельзя выполнить полностью.

Рис. 9.13. Схема адаптивного синтеза заданного фильтра с одной частотой (а) и с N различными частотами (б)

Однако можно предположить, что эталонный фильтр, в полной мере обладающий заданными амплитудой и фазовой частотными характеристиками, существует.

В схеме на рис. 9.13, а на входы идеализированного и адаптивного фильтров подается входной синусоидальный сигнал вида

Здесь — одна из заданных требованиями частот. Полагаем, что эталонный фильтр является линейным, и его выходной сигнал

Для адаптивного фильтра этот сигнал представляет собой полезный отклик. Отметим, что существование эталонного фильтра необязательно. Для адаптивного процесса необходим только его выходной сигнал, который можно легко построить по заданным требованиям. Коэффициент и угол — заданные коэффициент передачи и сдвиг фазы на частоте .

Для точного или, по крайней мере, приближенного выполнения требований одновременно для многих частот входной сигнал, равный сумме синусоидальных сигналов каждой из N заданных частот, подается на входы как эталонного, так и адаптивного фильтров, как показано на рис. 9.13, б. Этот сигнал имеет вид

Выходной сигнал эталонного фильтра, или полезный отклик адаптивного фильтра,

Иногда, если нельзя полностью выполнить требования для всех частот, то задают некоторые частоты, для которых выполнение требований более критично, чем для других. Это легко учесть, если ввести входные синусоидальные сигналы с различными амплитудами, при этом составляющие сигнала имеют соответствующий масштабный множитель. Чем больше амплитуда входного синусоидального сигнала, тем более критично выполнение требований на этой частоте. При таком подходе входной синусоидальный сигнал умножается на масшабный множитель и равен

где — положительная константа (функция стоимости) для всех . Входной сигнал, равный сумме синусоидальных сигналов, имеет вид

а полезный отклик, или выходной сигнал эталонного фильтра

Здесь снова и — заданные требованиями амплитуда и сдвиг фазы на частоте

Адаптивный фильтр находит оптимальное решение, обеспечивающее наилучшее приближение к заданным требованиям. Представляет интерес вид этого решения, алгебраическое выражение которого для адаптивного линейного сумматора определяется соотношением (2.17). В терминах корреляционных функций из (7.62) и (7.63) имеем

Здесь — число весовых коэффициентов адаптивного линейного сумматора. Поскольку d их известны, можно вычислить корреляционные функции в (9.12). Аналогично тому, как это сделано в гл. 7, определим

(9.13)

Тогда из (7.38) и (9.10) имеем

Поскольку математическое ожидание произведения двух синусоидальных функций времени с разными частотами равно нулю, выражение (9.14) принимает вид

Используя тригонометрическое тождество

приводим выражение (9.15) к виду

Равенство (9.17) получено исходя из того, что синусоидальная и косинусоидальная функции некоррелированы, а средний квадрат синусоидального сигнала равен половине квадрата его амплитуды. Таким образом, из (9.17) находятся все элементы матрицы R в (9.12). Аналогичным образом могут быть найдены элементы вектора взаимокорреляционпых функций Р. Из (7.37), (7.63), (9.10) и (9.11) имеем

Подставляя (9.17) и (9.18) в (9.12). находим явное выражение для оптимального вектора весозых коэффициентов адаптивного фильтра

При одинаковых требованиях для различных частот, т. е. при входных синусоидальных сигналах с одним значением амплитуды, общее выражение (9.19) несколько упрощается.

Само по себе выражение (9.19) во многом не определяет процесс синтеза фильтра.

В некотором смысле более предпочтительным является использование адаптивного процесса в схеме на рис. 9.13. Однако часто при применении в процессе синтеза ЭВМ оптимальное решение является переменным, так как матрицу R и вектор Р в (9.19) можно вычислить непосредственно по заданным требованиям. Если весовые коэффициенты адаптивного фильтра соответствуют оптимальному решению W, то СКО

где — комплексная передаточная функция заданного эталонного фильтра на частоте , т. е.

а -комплексная передаточная функция оптимального адаптивного линейного сумматора с вектором весовых коэффициентов W на частоте В гл. 7 показано, что передаточная функция адаптивного трансверсального фильтра

где для получения частотной характеристики вместо z подставляется . Нормированная угловая частота, соответствующая

откуда в (9.20) принимает вид

При выводе соотношения (9.20) использован тот факт, что сигнал ошибки равен сумме синусоидальных сигналов, а если их частоты различны, то мощность суммы равна сумме мощностей.

Введение положительных множителей с определяется методом проб и ошибок. До сих пор не создано общего аналитического метода для их определения. При синтезе фильтра можно положить все с равными, затем проанализировать полученную частотную характеристику фильтра и далее увеличить значения множителей с на тех частотах, для которых выполнение заданных требований наиболее критично и т. д. Как показывает опыт, это не представляет трудности. Хотя желательно иметь аналитический метод определения множителей с, метод проб и ошибок оказывается достаточно эффективным.

Не используя (9.19), можно проводить коррекцию адаптивного фильтра методом наименьших квадратов, получая тем самым приближенные решения. Этот способ является простым и заключается в формировании сумм синусоидальных сигналов (9.10) и (9.11) для создания соответствующих обучающих входных сигналов адаптивного фильтра, как показано на рис. 9.13.

Адаптивный метод обычно используется при необходимости синтеза фильтра с большим числом весовых коэффициентов. Применение соотношения (9.19) требует решения большого числа совместных линейных уравнений. Например, если число весовых коэффициентов 256, то необходимо решить 256 линейных уравнений с 256 неизвестными. В зависимости от типа ЭВМ для синтеза фильтра более удобным может оказаться использование метода наименьшего квадратов, а не аналитического подхода.

Гибкость такого подхода позволяет реализовать помимо классических низкочастотных, высокочастотных и полосовых фильтров, синтез других фильтров. На рис. 9.14 приведены результаты синтеза фильтра с 50 весовыми коэффициентами по заданной частотной характеристике, построенной по 100 точкам, равномерно распределенным по всему интервалу Найквиста от нуля до половины частоты отсчета.

Рис. 9.14. Адаптивный синтез заданного цифрового фильтра с использованием постоянной функции сходимости

В результате синтеза необходимо получить фильтр, заданная амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) которого изменяется линейно по логарифмической шкале от —50 дБ на нулевой частоте до 0 дБ на частоте, равной четверти частоты отсчета, и имеет постоянное значение коэффициента передач —60 дБ в остальном интервале частот. Требуемые АЧХ и фазочастотная (ФЧХ) характеристики показаны на рис. 9.14 крестиками. Здесь же приведены характеристики синтезированного фильтра. В соответствии с требованиями ФЧХ должна быть линейна и иметь фазовый сдвиг примерно в интервале от нуля до одной четвертой частоты отсчета.

Рис. 9.15. Адаптивный синтез фильтра, аналогичного приведенному на рис. 9.14, с использованием постоянной функции стоимости

Отметим, что требования к АЧХ и ФЧХ более точно выполняются при большем значении коэффициента передачи фильтра (см. упражнение 24).

Множители с, составляющие функцию стоимости, выбраны равными между собой, как показано на рис. 9.14. Аналогичный синтез проведен для случая, когда не все множители с равны между собой. Результаты синтеза приведены на рис. 9.15. Частотные характеристики, более близкие к заданным, получены увеличением множителей с на одних частотах и уменьшением на других. Результаты синтеза выводились на дисплей при работе ЭВМ в интерактивном режиме, что позволяло сразу видеть влияние изменения множителей с. Увеличение множителей с приводит к тому, что на соответствующих частотах требования выполняются более точно, уменьшение этих множителей приводит к обратному результату. Чтобы увидеть влияние этих множителей, необходимо сравнить графики на рис. 9.14 и 9.15. В некоторых случаях для подавления некоторого нежелательного выброса частотной характеристики можно увеличить значение одного множителя с.

Во многих случаях необходимы лилейная ФЧХ или ФЧХ с нулевым фазовым сдвигом. Линейное изменение фазы соответствует некоторой задержке, а нулевая фаза — ее отсутствию. На рис. 9.16 показаны некаузальный фильтр с нулевым фазовым сдвигом на всех частотах (а) и каузальный фильтр (б), отличающийся от предыдущего наличием временной задержки.

Рис. 9.16. Некаузальный фильтр с нулевой фазой (а) и каузальный фильтр с линейно изменяющейся фазой (б)

Весовые коэффициенты отводов симметричны относительно центрального весового коэффициента. Для некаузального фильтра имеем

Поскольку передаточная функция является действительной, фаза равна нулю. Для каузального фильтра имеет ту же передаточную функцию, умноженную на (т. е. на следовательно, ФЧХ является линейной. При четном числе весовых коэффициентов фильтра с линейно изменяющейся фазой можно выбрать равными оба центральных весовых коэффициента, а другие — симметричными относительно них.

Алгоритм адаптивного процесса, при котором сохраняется условие симметричности, можно получить на основе модификации метода наименьших квадратов. В соответствии со схемой на рис. 9.16,а значение центрального весового коэффициента , выбираемое исходя из (6.3),

Тогда соседние весовые коэффициенты попарно принимают равные значения, а далее попарно адаптируются в соответствии с алгоритмом

Видно, что данный алгоритм удовлетворяет условию симметрии, при этом сохраняется линейность ФЧХ. Кроме того, очевидно, что при весовых коэффициентах, сгруппированных симметричными парами, СКО является квадратичной функцией весовых коэффициентов (хотя число степеней свободы приблизительно равно половине числа весовых коэффициентов). Оценка градиента в этом случае является несмещенной, поэтому данный алгоритм относится к алгоритмам наискорейшего спуска.

Таким образом, алгоритмы (9.26) и (9.27) всегда приводят к линейной ФЧХ, но с другой стороны допускают широкий разброс частотной характеристики. Рассмотрим теперь примеры их использования.

На рис. 9.17 приведены результаты синтеза низкочастотного фильтра с 50 весовыми коэффициентами и с линейно изменяющейся фазой. Из рисунка видно, что, как и ожидалось, ФЧХ удовлетворяет требованиям. В интервале от нулевой частоты до частоты, равной четверти частоты отсчета, выполнены почти точно требования к АЧХ. Как показано на нижнем рисунке, в интервале от четверти до половины частоты отсчета задано значение коэффициента передачи —100 дБ.

Рис. 9.17. Адаптивный синтез низкочастотного фильтра с линейно изменяющейся фазой с использованием постоянной функции стоимости

Это требование не выполняется, но в пределах этого частотного интервала коэффициент передачи не превышает —20 дБ, а для большого числа частот — менее —30 дБ. Этот фильтр, хотя он и не оптимален, является полезным во многих приложениях.

При большем числе весовых коэффициентов получаются лучшие результаты, поскольку фильтр с 50 весовыми коэффициентами может управлять значением комплексного коэффициента передачи только на 25 частотах. Кроме того, лучших результатов можно достичь, подбирая множители с. Например, на рис. 9.18 представлен случай, в котором подбирается функция стоимости. Здесь также полностью выполнены требования по ФЧХ. Для получения требуемой АЧХ функция стоимости уменьшена в полосе пропускания и увеличена в полосе подавления.

Рис. 9.18. Адаптивный синтез, аналогичный приведенному на рис. 9.17, с использованием непостоянной функции стоимости

В результате этого в полосе пропускания коэффициент передачи уменьшился на 10 дБ, а в полосе подавления его значение упало до уровня ниже —40 дБ, что привело к разнице значений коэффициента передачи в полосе пропускания и за ее пределами, по меньшей мере, 30 дБ и тем самым к лучшему результату. Для подавления значительных нежелательных выбросов за пределами полосы пропускания на некоторых частотах выбраны особенно большие значения функции стоимости.

Рис. 9.19. Адаптивный синтез режекторного фильтра с линейно изменяющейся фазой

В последнем примере, представленном на рис. 9.19, с использованием этих методов синтезирован режекторный фильтр с широкополосной АЧХ и линейной ФЧХ. В полосах пропускания получена плоская АЧХ. Вместо заданного значения коэффициента передачи в полосе подавления —50 дБ получены значения не более —20 дБ. Аналогично можно проводить синтез других фильтров. Приведенный метод особенно полезен в тех случаях, когда задаются специальные требования; аналитических методов их реализации не существует.