Часть IV. ПРИЛОЖЕНИЯ АДАПТИВНОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

Основная задача заключительной части книги — показать, как теоретические положения, рассмотренные в предыдущих разделах, внедряются на практике в различных областях техники. Кроме того, здесь приводятся сведения о методах расширения спектра, обеляющих (выравнивающих) фильтрах, основах теории управления и т. д., связанных с применением адаптивной обработки сигналов.

В заключительных шести главах книги рассматриваются следующие основные виды адаптации в различных вариантах:

1) адаптивное моделирование и его применение в различных системах (гл. 9), в частности в адаптивных системах управления (гл. 11);

2) адаптивное обратное моделирование и адаптивное управление (гл. Ю, 11);

3) адаптивное подавление помех (гл. 12) и его применение в адаптивных антенных решетках (гл. 13, 14);

4) адаптивное предсказание (гл. 12).

Все четыре вида адаптации представлены на рис. 1.5 в гл. 1.

Глава 9. АДАПТИВНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ

СИСТЕМ

Моделирование и идентификация систем играют важную роль в системах управления, в связи и в обработке сигналов. Помимо традиционного применения в технике моделирование используют также при изучении социальных, экономических и биологических систем. Здесь, однако, не рассматривается такая широкая область приложения, а обсуждается возможность использования простых адаптивных фильтров в моделировании систем и приводятся примеры адаптивной идентификации систем.

Общее описание

Адаптивный фильтр можно использовать для моделирования функционирования физических динамических систем, которые можно считать неизвестными «черными ящиками», имеющими один или более входов и выходов. На рис. 9.1 представлена схема моделирования неизвестной динамической системы с одним входом и одним выходом. На вход неизвестной системы и адаптивного фильтра подается один и тот же сигнал. Адаптивный фильтр настраивается таким образом, чтобы его выходной сигнал соответствовал выходному сигналу неизвестной системы в общем случае по критерию паилучшего среднеквадратического приближения.

Рис. 9.1. Моделирование неизвестной системы с одним входом и одним выходом без шума (а) и с шумом (б)

Близкое, или, вероятно, полное приближение возможно тогда, когда адаптивная система обладает достаточной гибкостью, т. е. имеет достаточное число степеней свободы (перестраиваемых весовых коэффициентов). После адаптации структура и значение параметров адаптивной системы могут соответствовать или не соответствовать структуре или параметрам неизвестной системы, однако взаимосвязь между входным сигналом и выходным откликом будет одна и та же. В этом смысле адаптивная система становится моделью неизвестной системы. Если входной сигнал изменяется в широком диапазоне и адаптивная система такова, что при подходящем выборе ее перестраиваемых параметров возможно такое моделирование, то процесс адаптации, минимизирующий СКО, приводит к точному моделированию ее параметров.

Во многих практических случаях неизвестная система, которую необходимо моделировать, является шумящей, т. е. обладает внутренними источниками случайных возмущений. В таких ситуациях, если адаптивная модель обладает достаточной гибкостью для моделирования динамической характеристики неизвестной системы, ее выходной сигнал полностью соответствует выходному сигналу неизвестной системы, за исключением шумовой составляющей , показанной на рис. 9.1, б в виде аддитивного шума относительно выходного сигнала. Внутренний шум неизвестной системы содержится в выходном сигнале и обычно представляется в виде аддитивного шума.

В общем случае этот шум некоррелирован с выходным сигналом неизвестной системы. Если адаптивная модель при этом условии представляет собой адаптивный линейный сумматор, весовые коэффициенты которого перестраиваются для минимизации СКО, то можно показать, что выбор оптимальных весовых коэффициентов не зависит от шума неизвестной системы. Это не означает, что шум неизвестной системы не влияет на сходимость адаптивного процесса, а говорит лишь о том, что шум не влияет на среднее значение вектора весовых коэффициентов адаптивной

Рис. 9.2. Схема эксперимента по идентификации системы с одним входом, результаты которого приведены на рис. 9.3 системы после завершения процесса адаптации. (Этому вопросу посвящено упражнение 6.) Оптимальный вектор весовых коэффициентов определяется при этом, главным образом, импульсной характеристикой моделируемой неизвестной системы и, кроме того, значительно зависит от статистических и спектральных свойств входного сигнала.

На рис. 9.2 приведена схема идентификации системы с одним входом. Здесь идентифицируемая система является системой без полюсов, поэтому полная идентификация возможна при условии, что . Предположим, что сигнал и шум представляют собой некоррелированные случайные последовательности отсчетов белого шума 1 и в адаптивном трансверсальном фильтре применяется метод наименьших квадратов, при этом

Из (6.35) и (6.38) для этих значений можно определить среднее значение СКО и постоянную времени обучающей кривой. При отсутствии шума и при

т. е. при достаточной размерности адаптивного фильтра , поэтому среднее значение СКО также равно нулю. При добавлении шума адаптивный фильтр с по-прежнему подавляет выходной сигнал неизвестной системы, поэтому полностью определяется мощностью шума:

Для адаптивного фильтра с не равно нулю независимо от наличия или отсутствия шума.

Для белого шума корреляционная матрица входного сигнала является диагональной, и ее элементы равны поэтому постоянная времени сходимости равна

Расчеты по (9.2) — (9.4) иллюстрируются примерами на рис. 9.3, где приведены шесть экспериментальных обучающих кривых. Каждая кривая получена усреднением 100 реализаций на ЭВМ в соответствии со схемой на рис. 9.2.

Отметим, что для адаптивной системы только с двумя весовыми коэффициентами даже при отсутствии шума , т. е. этот адаптивный фильтр не может полностью идентифицировать систему. Для адаптивных систем с тремя или четырьмя весовыми коэффициентами наблюдается полная идентификация при отсутствии шума и при наличии шума. Во всех случаях постоянная времени равна примерно шести итерациям в соответствии с (9.4).

Рис. 9.3. Обучающие кривые, отражающие процесс сходимости в ходе идентификации системы с одним входом по приведенной на рис. 9.2 схеме. Каждая кривая получена усреднением 100 реализаций

Рис. 9.4. Моделирование неизвестной системы с многими входами и, выходами

Из приведенного на рис. 9.4 примера системы с двумя входами и двумя выходами можно получить способ моделирования систем с многими входами и выходами. Неизвестная система на рис. 9.4 представляет собой черный ящик с двумя входами и двумя выходами. Полагаем, что его внутренняя структура неизвестна. Адаптивный фильтр предназначен для определения соотношений между входными и выходными сигналами неизвестной системы и, при возможности, ее структуры. Не зная структуры неизвестной системы, но зная, что она является линейной и не зависит от времени на периоде наблюдения, можно выбрать общую структуру линейной адаптивной системы, как показано на рис. 9.4.

Положим, что каждый адаптивный фильтр имеет достаточное число степеней свободы, поэтому после адаптации каждый из фильтров настраивается на соответствующие составляющие неизвестной системы (т. е. ). Конечно, это происходит тогда, когда не коррелированы входные сигналы

Кроме того, хорошее приближение достигается при коррелированных когда нельзя сформировать в результате фильтрации и наоборот.

Рассмотрим теперь три примера применения методов адаптивного моделирования для решения практических задач: в связи, в геофизике, в разработке цифровых фильтров.