Главная > Адаптивная обработка сигналов
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Геометрическая интерпретация собственных векторов и собственных значений

Собственные векторы и собственные значения непосредственно связаны с некоторыми свойствами поверхности, образованной графиком функции ошибки Напомним, что , определяемая соотношением (2.31), описывает гиперпараболическую поверхность в -мерном пространстве с координатными осями, соответстющими

Рассмотрим теперь системы только с двумя весовыми коэффициентами, т. е. некоторое трехмерное пространство. Затем можно сделать обобщение для пространств большей размерности или для двухмерного пространства в системе с одним весовым коэффициентом.

Для случая с двумя весовыми коэффициентами функция g, аналогично примеру на рис. 2.5, описывает параболоид. Как показано на рис. 3.1, при сечении параболоида плоскостями, параллельными плоскости , образуются концентрические эллипсы, соответствующие некоторому постоянному значению СКО. Из (2.13) следует, что в общем виде зависимость, описывающая любую из проекций этих кривых на плоскости , определяется выражением

Как показано на рис. 3.1, можно перейти от вектора W к новым координатам — компонентам вектора V, начало которых находится в центре концентрических эллипсов. Это начало координат соответствует координатам точки с минимальным значением СКО и в соответствии с (2.17)

Рис. 3.1. Эллипсы на плоскости соответствующие некоторым постоянным значениям СКО с приведенной системой координат и главными осями . Эти эллипсы являются контурами проекций сечеиий поверхности, изображенной на рис. 2.5.

Тогда (3.28) принимает вид

(3.30)

Выражение (3.30) описывает эллипс (или в общем случае гиперэллипс) с центром в начале координат В этой новой системе координат существуют две (или в общем случае ) перпендикулярные прямые, называемые главными осями эллипса, которые на рис. 3.1 обозначены

Можно получить выражение для любой нормали эллипса, если полагать, что эллипс описывается функцией и найти выражение для градиента F, который является также градиентом поскольку я F отличаются лишь константой. Градиент

(К этому результату можно прийти, если записать VTRV в виде двойной суммы и найти поочередно каждую производную.)

Кроме того, любой вектор, проходящий через начало координат при должен иметь вид Но через начало координат проводит и является нормалью к кривой главная ось. Таким образом,

или

где V представляет собой главную ось. Этот результат имеет такой же вид, как соотношение (3.1), поэтому V должен быть собственным вектором матрицы R. Итак, собственные векторы корреляционной матрицы входного сигнала определяют главные оси сечений поверхности, образованной графиком функции ошибки (рабочей функции). Завершая геометрические преобразования, рассмотрим выражения для функции ошибки во всех трех системах координат. Из (2.28), (2.23) и (3.5)

Уравнения (3.33), (3.34) и (3.35) представляют собой функцию, выраженную соответственно в обычной и смещенной системах координат и в системе координат, образованной главными осями.

Снова, как и в (3.31), вычислив градиент, можно видоизменить (3.35):

В отличие от (3.31) очевидно, что если только один компонент является ненулевым, то вектор градиента лежит на этой оси. Следовательно, V в (3.35) представляет собой систему координат, образованную главными осями. Следующие преобразования соответствуют выражениям (3.34) и (3.35):

Эти преобразования можно представить в примере на рис. 3.1.

Важна также геометрическая интерпретация собственных значений матрицы R. Как видно из (3.36), градиент g относительно любой главной оси можно записать в виде

а также

Таким образом, вторая производная функция относительно любой главной оси равна удвоенному собственному значению, т. е. собственные значения корреляционной матрицы R входного сигнала соответствуют вторым производным функции ошибки g относительно главных осей.

В качестве простого примера, иллюстрирующего этот результат, рассмотрим систему с одним весовым коэффициентом, в которой функция становится параболой. Пусть элемент матрицы R. Тогда из (2.33) для этого случая

Здесь существует только одно измерение для вектора W, поэтому ось w, кроме того, является главной осью, а собственное значение . Дважды дифференцируя эту функцию по , так же, как и в (2.34), получаем

Таким образом, для одного весового коэффициента вторая производная параболы в любой точке равна . Численный пример для системы с двумя весовыми коэффициентами рассматривается в следующем разделе.

1
Оглавление
email@scask.ru