Рабочая функция
Из рис. 2.4 следует, что сигнал ошибки с временным индексом к
Подставляя (2.6) в это выражение, получаем
Здесь для удобства у вектора весовых коэффициентов опущен индекс 
поскольку в данном случае коррекция весовых коэффициентов не рассматривается. Чтобы получить мгновенное квадратичное значение сигнала ошибки, возведем в квадрат выражение (2.8):
Положим, что 
стационарны в статистическом смысле, и найдем математическое ожидание функции (2.9) по k:
Отметим, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, но математическое ожидание произведений равно произведению математических ожиданий только тогда, когда случайные величины статистически независимы. В общем случае сигналы 
не являются независимыми.
Удобнее функцию СКО представить следующим образом. Пусть R — квадратная матрица
Эта матрица называется корреляционной матрицей входного сигнала. Элементы, расположенные на главной диагонали, равны среднеквадратическим значениям входных компонентов, а остальные элементы — значениям взаимокорреляционной функции входных компонентов. Таким образом, пусть Р — вектор-столбец
Этот вектор представляет собой множество значений взаимокорреляционной функции отсчетов полезного отклика и отсчетов входного сигнала. Если 
— стационарны, то все элементы, как R, так и Р, являются постоянными статистиками второго порядка. Отметим, что в (2.11) и (2.12) 
представлено для системы с многими входами, но так же легко можно было бы воспользоваться представлением для системы с одним входом.
Обозначим теперь СКО в (2.10) через 
и запишем ее с помощью (2.11) и (2.12):
Из этого выражения видно, что если отсчеты входного сигнала и полезного отклика — стационарные случайные величины, то СКО точно совпадает с квадратичной функцией компонентов вектора весовых коэффициентов W, т. е. если раскрыть (2.13), то элементы W входят в (2.12) только в первой и второй степенях.
На рис. 2.5 показан фрагмент характерной двумерной функции СКО. По вертикальной оси откладываются значения СКО, по горизонтальным осям — значения весовых коэффициентов. Построенный таким способом график квадратичной функции ошибки (поверхность, образованная графиком рабочей функции) является параболоидом (или гиперпараболоидом, если число весовых коэффициентов больше двух).
Он должен быть вогнутым и направленным вверх; в противном случае при некоторых значениях весовых коэффициентов значение СКО было бы отрицательным, что невозможно для реальных физических сигналов. При равной в (2.13) константе, сечение поверхности имеет эллиптическую форму. Проекция «нижней» точки графика на плоскость векторов весовых коэффициентов представляет собой вектор оптимальных весовых коэффициентов W и соответствует точке минимального значения СКО. Квадратическая функция ошибки имеет только один глобальный оптимум, локальных минимумов у такой функции не существует.
Рис. 2.5. Фрагмент графика двумерной квадратичной рабочей функции. В данном примере оптимальным является вектор 
, а минимальное значение СКО равно нулю
