Импульсная характеристика и устойчивость
Предположим, что на выходе системы имеется множество отсчетов импульсов, состоящее из одного единичного отсчета при 
т. е.
По определению (7.1) z-преобразование единичного импульса
Поэтому, если 
является входным сигналом фильтра с передаточной функцией 
, то, как следует из (7.8), и выходной сигнал должен представлять собой последовательность, z-преобразование которой равно 
:
где 
обозначает обратное 
-преобразование.
На основании (7.22) можно утверждать, что такие нерекурсивные цифровые фильтры, как адаптивный линейный сумматор, сами по себе являются устойчивыми, поскольку весовые коэффициенты принимают конечные значения, импульсная характеристика ограничена по амплитуде и по длительности.
С другой стороны, как следует из (7.10), рекурсивные фильтры обладают импульсной характеристикой бесконечной длины. Каузальный рекурсивный фильтр является устойчивым только тогда, когда полюсы передаточной функции находятся внутри окружности единичного радиуса, как показано на рис. 5.3. Определить устойчивость можно следующим образом.
Пусть передаточная функция 
равна в соответствии с (7.8) отношению полиномов от 
. Если представить 
в виде суммы дробных функций, то 
будет содержать члены вида 
, где 
— точка полюса. Таким образом, можно записать
где 
- остаток 
; А — константа. Поскольку входной сигнал начинается при 
ясно, что отклик (т. е. обратное преобразование) должен быть правосторонней последовательностью. Следовательно, первый член в (7.23) можно выразить в виде правостороннего ряда и записать
Отсюда импульсная характеристика
Хотя в общем случае точка полюса 
является комплексным числом, очевидно, что импульсная характеристика растет ограниченно, пока модуль 
меньше 1, т. е. пока 
находится внутри окружности единичного радиуса. (Примем, по определению, что фильтр, полюс которого находится на окружности единичного радиуса, является «условно» устойчивым.)
Подводя итоги этого раздела, запишем результаты для фильтров конечной длины в виде таблицы:
Термин «бесконечная», как и в (7.10) или (7.25) означает бесконечная по протяженности, а сокращения КИХ и БИХ часто используют для определения этих двух классов фильтров.
