Адаптивный синтез цифровых БИХ-фильтров

В гл. 9 рассмотрен синтез цифровых КИХ-фильтров при использовании методов адаптивного моделирования. Здесь приводится аналогичный синтез цифровых БИХ-фильтров. При этом для синтеза нерекурсивной части фильтров используется адаптивное моделирование, а для синтеза рекурсивной части — обратное адаптивное моделирование.

Вид синтезируемого цифрового БИХ-фильтра приведен на рис. 7.2. Его передаточная функция из (7.8)

(10.18)

На рис. 10.15 показана схема, реализующая эту передаточную функцию. Пусть фильтр имеет L нулей и М полюсов, тогда (10.18) принимает вид

Таким образом, фильтр имеет весовых коэффициентов в нерекурсивной части и М весовых коэффициентов в схеме обратной связи. Цель синтеза — разработка адаптивного процесса, обеспечивающего такую автоматическую коррекцию весовых коэффициентов, при которой передаточная функция фильтра наилучшим образом удовлетворяет множеству заданных требований. Как и в гл. 9, эти требования представляются в виде эталонного фильтра.

На рис. 10.16 приведена схема синтеза фильтра, аналогичная схеме на рис. 9.13. Здесь N входных синусоидальных сигналов соответствует N заданным частотам, а сигнал формируется в соответствии с (9.8) или (9.11). Функции и БИХ-фильтра адаптируются по эталонному фильтру.

В рассматриваемом случае рабочие функции не всегда являются унимодальными, и если нули передаточной функции не остаются внутри окружности единичного радиуса, то адаптивный фильтр может стать неустойчивым.

Рис. 10.15. Структурная схема адаптивного БИХ-фильтра

Рис. 10.16. Простая схема синтеза адаптивного БИХ-фильтра (эта схема в общем случае неработоспособна)

Чтобы избежать этого, будем рассматривать схему адаптации, которая наиболее эффективна при решении задачи синтеза фильтра и не требует адаптивного алгоритма с бесконечной импульсной характеристикой. В такой схеме и B(z) представляются адаптивными трансверсальными фильтрами, и процесс адаптации для них осуществляется раздельно.

Такой подход не полностью минимизирует СКО. Схема моделирования приведена на рис. 10.17 [3]. Здесь в — сигнал ошибки, отличный от в схеме на рис. 10.16. Однако можно показать, что во многих случаях минимизация среднеквадратического значения при адаптации и B(z) приводит к таким передаточным функциям, при использовании которых в схеме на рис. 10.16 достигается значение ошибки, близкое к минимальному среднеквадратическому значению .

Рис. 10.17. Синтез фильтра с бесконечной импульсной характеристикой с одновременным прямым и обратным моделированием

В соответствии с этим, если на основе схемы рис. 10.17 найдены A(z) и B(z), то БИХ-фильтр строится введением найденных передаточных функций в схему на рис. 10.15.

Косвенный метод на рис. 10.17 применяется потому, что среднеквадратическое значение является квадратичной функцией коэффициентов A(z) и B(z). В этом случае рабочая функция унимодальна, следовательно, возможна адаптация A(z) и B(z) по методу наименьших квадратов. Адаптивный процесс аналогичен показанному на рис. 9.4, где для адаптации двух адаптивных фильтров, выходные сигналы которых суммируются, используется общий сигнал ошибки. Отметим, что в идеальном случае адаптация B(z) приводит к тому, что 1-B(z) исключает полюсы, а адаптация A(z) — нули эталонного фильтра. Более подробно этот процесс адаптации описан в [32].

Интересно найти соотношение между . Обозначим передаточную функцию эталонного фильтра через а сумму входных синусоидальных сигналов через F(z). При заданных A(z) и z-преобразование сигнала ошибки в схеме на рис. 10.16

Обратимся теперь к схеме на рис. 10.17, для которой при заданных A(z) и B(z) z-преобразование сигнала ошибки

(10.21)

Очевидно, что отличаются множителем 1-B(z), который изменяется в процессе адаптации B(z). Следовательно, при минимизации среднеквадратического значения z адаптация A(z) и B(z) не обязательно приводит к минимизации среднеквадратического значения . Однако при адекватном числе весовых коэффициентов в A(z) и B(z), когда возможна их адаптация, приводящая к нулевому среднеквадратическому значению в схеме рис. 10.16, этот же процесс адаптации, очевидно, приводит к нулевому среднеквадратическому значению в схеме на рис. 10.17. Следовательно, при адекватном числе степеней свободы в A(z) и B(z) найденные при адаптации в схеме на рис. 10.17 функции A(z) и B(z) позволяют синтезировать требуемый БИХ-фильтр. Дальнейшее увеличение числа весовых коэффициентов не ухудшает характеристик, но является излишним.

Исследования этого метода синтеза приведены с помощью ЭВМ. Хотя при синтезе с помощью фильтра с конечной импульсной характеристикой можно достаточно хорошо реализовать ФЧХ (например, точно линейную, как описывается в гл. 9), при эквивалентных значениях задержек и числе весовых коэффициентов частотная характеристика реализуется лучше при синтезе с помощью БИХ-фильтра. Рассмотрим теперь несколько примеров синтеза БИХ-фильтров с использованием метода наименьших квадратов.

Рис. 10.18. Синтез низкочастотного БИХ-фильтра, обладающего практически нулевой фазой, с использованием метода наименьших квадратов для определения A(z) и В(z) на рис. 10.17

Эти примеры аналогичны приведенным в гл. 9 и имеют те же параметры.

На рис. 10.18 приведены результаты синтеза низкочастотного БИХ-фильтра. Отметим, что частотные характеристики являются равномерными в полосе пропускания и имеют значительные выбросы за ее пределами. Заданное требование нулевой фазы достаточно хорошо выполняется на всех частотах, за исключением области перехода от полосы пропускания к полосе подавления. На рис. 10.19 представлены результаты другого синтеза. В этом случае для получения более резкого среза характеристики введены различные множители стоимости. Полученный результат достигнут за счет некоторой неравномерности в полосе пропускания.

Рис. 10.19. Синтез фильтра, аналогичного приведенному на рис. 10.18, с использованием для улучшения характеристик в полосе пропускания неравномерной функции стоимости

В обоих вариантах БИХ-фильтры имеют 10 весовых коэффициентов в нерекурсивной части и 9 весовых коэффициентов в схеме обратной связи, при этом устройство с A(z) является некаузальным. При расчетах заданы 25 равномерно отстоящих друг от друга частот.

На рис. 10.20 приведены результаты адаптивного синтеза другого низкочастотного БИХ-фильтра, для которого задана линейная ФЧХ в обеих полосах. Здесь такое же распределение весовых коэффициентов, но устройство с в этом случае является каузальным. Как показано на рис. 10.20, при этом введены различные множители стоимости.

Рис. 10.20. Синтез низкочастотного БИХ-фильтра с заданной линейно изменяющейся фазой

Так же, как и в примерах на рис. 10.18 и 10.19, графики получены расчетом на ЭВМ не только для заданных частот, но и для большого числа промежуточных значений. Требование линейности ФЧХ хорошо выполняется в полосе пропускания, но практически не реализовано в полосе подавления. Видно, что вполне удовлетворительно реализована АЧХ.

На рис. 10.21 приводится пример специального фильтра, для которого заданы линейная ФЧХ и пилообразная в логарифмическом масштабе АЧХ. Проектирование такого фильтра затруднительно без адаптивного синтеза. Отметим, что при увеличении числа весовых коэффициентов и задании требований к линейности ФЧХ для большого числа частот можно получить характеристики, более близкие к заданным.

Рис. 10.21. Адаптивный синтез БИХ-фильтра с линейно изменяющейся фазой и пилообразной (в логарифмическом масштабе) АЧХ

В настоящее время нет способа точной оценки приближения как функции числа весовых коэффициентов и числа задаваемых точек. Однако при использовании ЭВМ этого можно достичь методом проб и ошибок. Такой итеративный процесс можно реализовать на персональной ЭВМ или на терминале ЭВМ коллективного пользования с временным разделением.

Теперь необходимо рассмотреть задачу, которая часто возникает при синтезе БИХ-фильтров описанными методами. Для этого обратимся к схеме на рис. 10.17. Трансверсальные фильтры A(z) и B(z) легко построить с помощью процесса адаптации по методу наименьших квадратов или другого алгоритма, использующего среднеквадратическую оценку (например, по алгоритму последовательной регрессии для нерекурсивных фильтров, который описан в гл. 8).

Задача состоит в том, что при использовании в синтезируемом фильтре на рис. 10.15 обратной связи с передаточной функцией иногда оказывается, что петля обратной связи является неустойчивой. Передаточная функция синтезируемого фильтра имеет вид

Каузальный фильтр является устойчивым только тогда, когда все корни полинома

(10.23)

находятся внутри круга единичного радиуса на z-плоскости.

Полином (10.23) можно разложить на множители

Во всех случаях можно получить устойчивый БИХ-фильтр из неустойчивого, если все корни (10.24), находящиеся вне круга единичного радиуса, заменить на обратные величины. Тогда полученный устойчивый фильтр будет иметь АЧХ, идентичную характеристике неустойчивого фильтра, которая, в свою очередь, аппроксимирует заданную. Однако ФЧХ может сильно отличаться от первоначально заданной.

Замену корней во всех множителях (10.24), имеющих корни вне окружности единичного радиуса, легко осуществить подстановкой вместо z. Другими словами, положим, что множитель в (10.24) имеет вид

(10.25)

Тогда в полиноме его заменяют на множитель

(10.26)

Остальные множители, имеющие корни внутри окружности единичного радиуса, входят в (10.24) без изменений. При перемножении всех сомножителей получается новая передаточная функция в (10.24), реализация которой в схеме на рис. 10.15 приводит к устойчивому БИХ-фильтру.

Замена сомножителей для обеспечения устойчивости не влияет на АЧХ по следующей причине. Пусть — действительная величина. Тогда в соответствии с (7.19) один из сомножителей, входящих в коэффициент передачи по амплитуде, равен , где и очевидно, что

Пусть теперь — комплексная величина. Тогда комплексно-сопряженная величина также должна быть корнем знаменателя в передаточной функции Заменим множители на . Тогда снова для общего значения z на окружности единичного радиуса

Аналогичные рассуждения справедливы для всех сомножителей, заменяемых для обеспечения устойчивости. Отметим, что при такой замене не сохраняется ФЧХ. В результате полученный БИХ-фильтр может иметь ФЧХ, сильно отличающуюся от заданной даже при очень близкой к заданной АЧХ.

Фактически представленный на рис. 10.18 БИХ-фильтр обладает описанным выше видом неустойчивости. При замене полюсов в соответствии с (10.26) получаем устойчивый фильтр, приведенный на рис. 10.22, который, как и показанный на рис. 10.18, имеет 10 весовых коэффициентов в нерекурсивной части и 9 весовых коэффициентов в схеме обратной связи. Здесь АЧХ близка к заданной, а ФЧХ сильно отличается от заданной.

Рис. 10.22. Синтез аналогичного показанному на рис. 10.18 БИХ-фильтра, для достижения устойчивости которого приняты обратные значения полюсов, расположенных вне области устойчивости

На рис. 10.23 приведен график распределения нулей и полюсов передаточных функций фильтров рис. 10.18 и 10.22 и показано, как осуществляется замена полюсов на обратные величины в соответствии с (10.26).

Для выполнения требований к АЧХ и ФЧХ с сохранением устойчивости адаптивного БИХ-фильтра существуют, по крайней мере, два основных подхода. В общем виде рассмотрим кратко каждый из них.

Схема, реализующая первый способ, приведена на рис. 10.24. Здесь показан устойчивый БИХ-фильтр, синтезированный, как описано выше, заменой полюсов на обратные. Последовательно с этим устойчивым фильтром включается переменная задержка и компенсатор фазы. При минимизации СКО адаптируются последние звенья, а сам фильтр остается неизменным. Компенсатор фазы представляет собой фильтр с коэффициентом передачи по амплитуде, равным единице, и переменной фазой. Он содержит одно или несколько последовательно включенных звеньев с передаточной функцией вида

(10.29)

Рис. 10.23. Расположение нулей и полюсов для фильтров на рис. 10.18 и 10.22. Показана замена полюсов на обратные, в результате чего достигается устойчивость фильтра

Рис. 10.24. Применение фазового компенсатора для коррекции фазовых искажений, возникающих при замене полюсов

В соответствии с рис. 8.9 весовые коэффициенты должны перестраиваться так, чтобы полюса функции оставались внутри окружности единичного радиуса. Таким образом, результирующий БИХ-фильтр состоит из последовательно соединенных устойчивого фильтра на рис. 10.24, задержки и компенсатора фазы.

Схема, реализующая второй способ, приведена на рис. 10.25. Здесь для реализации полинома обратной связи [1-B(z)] используются последовательно включенные звенья второго порядка. В соответствии с рис. 8.9 полюса полинома [1-B(z)] можно удерживать внутри круга единичного радиуса, что также приводит к устойчивости фильтра. Как и ранее, при значительной групповой задержке эталонного фильтра может возникнуть необходимость в задержке . Хотя процесс адаптации каскадных структур разработан [4], метод, приведенный на рис. 10.25, в данной книге не рассматривается.

Рис. 10.25. Синтез БИХ-фильтра при использовании звеньев с двумя полюсами, реализующих передаточную функцию 1-В(z)

Из двух описанных способов второй считается более эффективным. Для проверки этого способа был проведен эксперимент, результаты которого представлены на рис. 10.26 и 10.27. Описанный ранее синтез только по АЧХ показан на рис. 10.26, из которого видно, что при переносе нулей функции в окружность единичного радиуса ФЧХ сильно искажается. На рис. 10.27 приведены результаты синтеза с использованием схемы рис. 10.25, в которой адаптация осуществляется по обеим характеристикам. Отметим, что АЧХ на рис. 10.26, где нет адаптации по фазе, имеет лучшее приближение к заданной.

Рис. 10.26. Пример синтеза БИХ-фильтра и треугольной АЧХ в полосе пропускания. Поскольку необходимо принимать обратные значения полюсов, требования выполняются только относительно АЧХ

Рис. 10.27. Пример, аналогичный приведенному на рис. 10.26, но при использовании схемы на рис. 10.25 выполнены требования как по АЧХ, так и по ФЧХ

При увеличении общего числа нулей и полюсов оба способа приводят к лучшему результату.