Упражнения

1. Объясните, почему формулы (5.3) и (5.4) являются точными для квадратичных рабочих функций.

2. Адаптивная система с одним весовым коэффициентом имеет рабочую функцию

Постройте график зависимости от w и покажите на нем значения . Покажите также ошибку измерения у, возникающую при приращении весового коэффициента w около значения с отклонением . Чему равно значение у?

3. Возможно ли для квадратичной рабочей функции отрицательное значение ошибки измерения у? Почему? Нарисуйте график рабочей функции с отрицательной ошибкой измерения.

4. Каково значение относительного приращения для системы из упражнения 2?

5. Предположим, что имеется линейный сумматор с одним входом, рабочая функция которого

а входной сигнал является случайным стационарным процессом. Для отсчетов входного сигнала Чему равно Р, если отклонение весового коэффициента ?

6. Предположим, что в адаптивный линейный сумматор с одним входом добавлен одни весовой коэффициент. Как в общем случае это повлияет на Р?

7. Предположим, что ошибка является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале от 1 до 3. Чему равен в этом случае четвертый момент ?

8. Предположим, что имеет нормальное распределение с такими же средним значением и дисперсией, как в упражнении 7. Найдите четвертый момент си.

9. Ошибка имеет нормальное распределение с нулевым средним значением и дисперсией, равной 3. Какова дисперсия оценки среднеквадратической ошибки, если эта оценка производится по десяти независимым отсчетам сигнала ошибки?

10. Покажите, используя равенство (5.25), что для нормально распределенной ошибки с ненулевым средним значением параметр К несколько меньше 2.

11. Выведите формулы и неравенства, приведенные в табл. 5.1.

12. Каковы должны быть отношения для граничных значений параметра при нормальном распределении (см. табл. 5.1)?

13. Какое отношение соответствует верхней границе параметра К для каждого из трех (треугольного, равномерного и дискретного) распределений, представленных в табл. 5.1?

14. Предположим, что при условиях упражнения 2 оценка градиента осуществляется по пяти наблюдениям сигнала ошибки при каждом значении весового коэффициента с приращением. Какова дисперсия оценки градиента, если ошибка распределена по нормальному закону?

15. Положим, что при условиях упражнения 5 оценка градиента осуществляется по 50 наблюдениям сигнала ошибки при каждом значении весового коэффициента с приращением. Найдите ковариационную матрицу оценки градиента при нормальном распределении ошибки

16. Заданы временные последовательности которые равны нулю при отрицательных значениях k и связаны соотношением

Пользуясь методом индукции, найдите выражение для не содержащее рекурсивного соотношения.

17. Чему равна дисперсия весового коэффициента v в смещенной системе координат для системы, в которой используется метод Ньютона? Что изменится, если перейти к методу наискорейшего спуска?

18. На основании формул (5.54) и (5.55) проведите подробный вывод формул (5.57) и (5.58) для ковариационных матриц вектора весовых коэффициентов. При выводе воспользуйтесь равенством (3.38) и результатами упражнения 1в к гл. 2.

19. Для условий упражнения 5 найдите ковариационную матрицу вектора весовых коэффициентов полагая, что в системе применен метод наискорейшего спуска с параметром равным 1/2, т. е. своему максимальному значению, соответствующему области устойчивости, и с числом наблюдений сигнала ошибки

20. В равенстве (5.78) найдена сумма геометрических прогрессий диагональных матриц. В такой сумме каждый элемент матрицы можно вычислить в виде отдельной суммы геометрической прогрессии. Используя это, докажите, что

где D — диагональная матрица. При каких условиях этот ряд сходится? Справедливо ли это для недиагональпой матрицы D? Если да, то при каких условиях?

21. Для условий упражнения 5 найдите среднее значение СКО, полагая, что параметр равен половине своего максимального значения, соответствующего области устойчивости [см. равенства (4.33) и (4.45)], а число наблюдений сигнала ошибки

а) для метода Ньютона;

б) для метода наискорейшего спуска.

При решении сравните равенства (5.68) и (5.94) и равенства (5.80) и (5.95). Объясните различия.

22. Задана адаптивная система с одним весовым коэффициентом, для которой а средний квадрат входного сигнала равен 2. Найдите постоянные времени коррекции весового коэффициента и обучающей кривой:

а) для метода Ньютона,

б) для метода наискорейшего спуска.

23. Какова постоянная времени адаптации Гско для каждого случая при условиях упражнения 21, если для коррекции весового коэффициента на каждой итерации осуществляются все десять наблюдений сигнала ошибки?

24. Каково среднее значение СКО для каждого случая в упражнении 5, если , а относительное приращение составляет

25. На вход адаптивного линейного сумматора с двумя весовыми коэффициентами поступает входной сигнал для которого На каждой итерации осуществляется все 80 наблюдений сигнала ошибки . Соответствующее приращение весовых коэффициентов приводит к тому, что Р принимает значение 0,05, параметр Найдите относительное среднее значение СКО:

а) для метода Ньютона;

б) для метода наискорейшего спуска.

Ответы к некоторым упражнениям

5.

7.

8.

9.

12. Около ; около .

15. .