Рассмотренные в $\$ 5$ примеры показывают, что наличие ограничений в распределениях вероятностей возможных измерений в классической модели может привести к возннкновению выпуклых множеств состояний, радикально отличающихся от симплекса. Покажем, что на самом деле всякое выпуклое множество состояний можно рассматриеать как результат редукции классической модели с надлежащим образом подобранными ограничениями. Для простоты мы предположим, что рассматриваемое множество состояний конечномерно, а результаты измерений могут принимать конечное число значений, но доказательство может быть обобщено и на общий случай.

Теорема 7.1. Всякая отделимая статистическая модель, множество состоянид которои является ограниченным замкнутыки оыпуклым подмномсеством конеиномерного пространства, а измерения имеют конечное число значекий, является редукцией кекоторой классической модели с ограничениями на мноместөо измерений.

Доказательство. Пусть $\mathfrak{S}$ – множество состояний, $\mathfrak{M}$-множество измерений модели. Обозначим через $\Omega$ обозначаться буквой $ю$. Пусть $S \rightarrow \mu_{S}$ – данное измерение; тогда функция $\mu_{\omega}(u) ; \omega \in \Omega, u \in U$, является переходной вероятностью *) из $\Omega$ в $U$. Таким образом, всякому изме-
*) В определевии переходвой вероятности требуется измеримость по аргументу ш; өто здесь выполняется, так хак $\mu_{\omega}(\cdot)$ является сужением аффннного функционала $\mu_{S}(\cdot)$ на множество крайних точек $\boldsymbol{Q}^{\text {, }}$ которое измеримо для любого замкнутого выпуклого множества.
рению $M: S \rightarrow \mu_{S}$ соответствует переходная вероятность $\tilde{M}=\left\{\mu_{\omega}(u)\right\}$, причем соответствие взаимно-однозначно: из теоремы 2.1 следует, что два аффинных функционала, совпадающие на крайних точках, совпадают на всем выпуклом множестве.

Рассмотрим $\Omega$ как фазовое пространство классической модели с ограничениями, в которой состояниями являются всевозможные распределення вероятностей на $\Omega$, а измерения описываются переходными вероятностями вида $\tilde{\boldsymbol{M}}=\left\{\mu_{\omega}(u)\right\}$, где $S \rightarrow \mu_{S}-$ всевозможные измерения исходной модели. Обозначим $\mathfrak{N}$ множество таких классических измерений. Покажем, что редукция этой модели совпадает с исходной.

Прежде всего заметим, что для любого распределения вероятностей $P$ на $\Omega$ определен векторнозначный интеграл
\[
\int_{\Omega} \omega P(d \omega)
\]

как интеграл от функции со значениями в линейном пространстве, содержащем выпуклое множество Є. Если

To
\[
P=\sum_{j} p_{j} \delta_{\omega j},
\]
\[
\int_{\Omega} \omega P(d \omega)=\sum_{j} p_{j} \omega_{j},
\]

так что $\int_{\Omega} \omega P(d \omega)$ представляет собой некоторую точку из $\mathbb{G}$, т. е. состояние. В общем случае интеграл (7.1) является пределом конечных выпуклых комбннаций вида (7.2), и так как ( по предположению ограничено и замкнуто, то этот предел также принадлежит $\mathbb{E}$. Интеграл (7.1) является непрерывным аналогом выпуклой комбинации чистых состояний. Так как всякий аффинньй функционал на конечномерном пространстве, очевидно, непрерывен, то для всякого измерения
\[
\mu_{s}(u)=\int_{\Omega} \mu_{\omega}(u) P(d \omega),
\]

если
\[
S=\int_{\Omega} \omega P(d \omega) .
\]

Пусть теперь $P_{1}$ и $P_{2}$ – два неразличимых классических состояния на $\Omega$, так что
\[
\int_{\Omega} \mu_{\omega}(u) P_{1}(d \omega)=\int_{\Omega} \mu_{\omega}(u) P_{2}(d \omega), \quad u \in U,
\]

для всех измерений $\tilde{M}=\left\{\mu_{\omega}(u)\right\}$. Согласно сказанному выше, это равенство можно переписать в виде
\[
\mu_{s},(u)=\mu_{s},(u), \quad u \in U,
\]

где $S_{i}=\int_{a} \omega P_{i}(d \omega), j=1,2$. Из отделимости исходной модели вытекает тогда, что
\[
S_{1} \equiv \int_{\Omega} \omega P_{1}(d \omega)=\int_{\Omega} \omega P_{2}(d \omega)=S_{2} .
\]

Таким образом, классу неразличимых классических состояний $[P]$ взаимно-однозначно соответствует исходное состояние $\int \omega P(d \omega)$, где $P$ – любой представитель класса. Это соответствие, очевидно, аффинно; более того, оно отображает множество классов $[P]$ н а множество состояний $\mathcal{\Xi}$, так как для любого $\oplus \in$ класс, содержащий чистое классическое состояние $\delta_{\omega}$, отображается в $\omega$. Используя теорему 2.1, мы заключаем, что для любого $S \in \Subset$ найется конечное распределение вероятностей $\left\{p_{i}\right\}$ и $\omega_{j} \in \Omega$ такие, что $S=\left[\Sigma p_{i} \delta_{\omega_{j}}\right]$. Таким образом, редукция модели ( $\mathfrak{P}(\Omega), \mathfrak{2}$ ) приводит к множеству состояний и множеству измерений $\mathfrak{M}$, так что
\[
\int_{0} \mu_{\omega}(u) P(d \omega)=\mu_{[P]}(u)
\]

для любого измерения.
Рассмотрим эту конструкцио в наиболее интересном для нас случае квантовой теории. Пусть $\hat{\Omega}_{n}$ – единичная сфера в $n$-мерном комплексном пространстве векторовстолбцов $\boldsymbol{\psi}$,
\[
\hat{\Omega}_{n}=\left\{\psi: \psi^{*} \psi=1\right\} .
\]

Два вектора $\psi, \psi^{\prime}$ задают одно и то же состояние $S_{\psi}=\psi \psi^{*}$, если $\psi=\lambda \psi^{\prime}$, где $|\lambda|=1$. Обозначим через $\Omega_{n}$ множество соответствуюуцих классов эквивалентности в $\hat{\Omega}_{n}$. Элементы множества $\Omega_{A}$ находятся во взаимно-однозначном соответствии с чистыми состояниями множества $\mathscr{S}_{n}$. Множество $\Omega_{n}$ будет играть роль пространства $\Omega$ для классической модели с ограничениями, которую мы сейчас построим.

Пусть $P(d \psi)$-распределение вероятностей на $\Omega_{n}$. Тогда интеграл
\[
S_{P}=\int \psi \psi^{*} P(d \psi)
\]

определяет матрицу плотности $S_{P} \in \mathscr{S}_{n}$. Покажем, что всякая матрица плотности представима в таком виде. Согласно (2.6), $S=\sum_{j} \lambda_{i} S_{\psi_{j}}$. Очевидно, что $S_{\psi_{i}}=$ $=\int \psi \psi^{*} \delta_{\phi_{j}}(d \psi)$, так что $S=S_{P}$, где $P=\sum_{j} \lambda_{f} \delta_{\psi_{j}}$. Таким образом, $P \rightarrow S_{P}$ является аффинным отображением симплекса $\mathfrak{P}\left(\Omega_{n}\right)$ на множество квантовых состояний.

Пусть $S \rightarrow \mu_{S}(u)$ – квантовое измерение. Согласно предложению 6.1 ,
\[
\mu_{S}(u)=\operatorname{Tr} S M_{u},
\]

где $\left\{M_{n}\right\}$ – некоторое разложение единицы. Рассмотрим переходную вероятность из $\Omega_{n}$ в $U$ :
\[
M_{\psi}(u)=\mu_{S_{\psi}}(u)=\psi^{*} M_{u} \psi .
\]

Тогда для любого измерения
\[
\int M_{\psi}(u) P(d \psi)=\mu_{s_{p}}(u) .
\]

Таким образом, статистическая модель квантовой теории является редукцией классической модели с множеством состояний $\mathfrak{P}\left(\Omega_{n}\right)$ и измерениями, которые задаются переходными вероятностями вида (7.4), где $\left\{M_{n}\right\}$ – произвольное разложение единицы.

Отметим, что в случае $n=2$ эта конструкция совпадает с классической моделью для экспериментов с частицей со спином $1 / 2$, которая была построена в § 5 . В этом случае существует взаимно-однозначное соответствие между чистыми состояниями и точками сферы $\mathbb{S}^{2}$ (направлениями приготовляющего фильтра), дающими содержательное классическое описание процедуры приготовления состояния. В самом деле, как отмечалось в § 2, условие $\theta \in \mathbb{S}^{2}$ эквивалентно тому, что матрица (2.9) является одномерным проектором $S_{\psi}=\psi \psi^{*}$; таким образом, устанавливается соответствие между $\mathbb{S}^{2}$ и $\Omega_{2}$. Следовательно, всякое распределение вероятностей на $\Omega_{2}$ можно рассматривать как распределение вероятностей на $\mathbb{S}^{2}$, т. е. как классическое состояние в эксперименте, изображенном на рис. 5.

Возможность подобной содержательной интерпретации классической модели, формальная конструкция которой дается теоремой 7.1, для других квантовых объектов зависит от того, можно ли интерпретировать элемент $\psi \in \Omega_{n}$ как кполный список», дающий классическое описание процедуры приготовления. Мы не будем здесь углубляться в этот вопрос, однако заметим, что уже для частиц со спином $j>1 / 2$ появляются векторы состояний $\psi$, для которых затруднительно дать интерпретацию с точки зрения экспериментов с вращающимися поляризующими фильтрами, как это было сделано для случая $i=1 / 2$ в § 5 .

Мы видели, что для всякой достаточно регулярной статистической модели можно, по крайней мере формально, построить классическую модель (с ограничениями на измерения), которая будет статистически эквивалентна исходной в том смысле, что выполняется соотношение (7.3) для распределений вероятностей всевозможных измерений. В этом смысле всякая статистическая модель, в том числе модель квантовой теории, формально эквивалентна некоторой модели со «скрытыми переменными». Роль набора кеременных играет $\omega$, пробегающая фазовое пространство $\Omega$, а эпитет «скрытые указывает на отсутствие полной наблюдаемости, которая выражается в наличии ограничений на измерения. Это утверждение, конечно, не означает возможность сведения квантовой механики к той или иной форме механики Ньютона, однако оно кажется противоречащим широкоизвестному тезису о невозможности введения «скрытых переменных» в квантовую теорию. В этом положении, высказанном фон Нейманом, речь также идет лишь о статистическом описании результатов квантовых измерений. Первоначальная, довольно спорная аргументация фон Неймана была впоследствии эначительно усовершенствована и доведена до уровня весьма нетривиальных теорем (см. комментарии).

На самом деле здесь, конечно, нет противоречия. Чтобы доказать ту или иную теорему, надо формализовать понятие теории со скрытыми переменными. Конструкция теоремы 7.1 не обладает некоторыми дополнительными свойствами, которые постулируются при \”доказательствах невозможности». В общих чертах эти дополнительные требования сводятся к тому, что квантовым наблюдаемым должны непременно соответствовать в теории со скрытыми переменными случайные величины, причем с сохранением определенных функциональных соотношений. Важно, однако, чтобы требования, предъявляемые к теории со скрытыми переменными, были в достаточной мере мотивированными с точки зрения общего статистического описания экспериментальной ситуации. На наш взгляд, конструкция теоремы 7.1 удовлетворяет этому требованию, тогда как упомянутые выше более сильные ограничения основываются скорее на догматическом следовании традиционной концепции наблюдаемой и формальных аналогиях с теорией вероятностей.

Впрочем, сведение к классической модели достигается в конструкции теоремы 7.1 ценой радикального увеличения размерности множества состояний (от 3 до $\infty$ в случае спина $1 / 2$ ) и очевидно, что оно лишь усложняет описание объекта, вводя массу «несущественных подробностей», не находящих прямого отражения в статистике измерений. Редукция является аффинным отображением, а при таком отображении количество крайних точек у выпуклого множества не может уменьшиться. Поэтому, если множество состояний в некоторой статистической модели имеет $N$ крайних точек, то размерность симплекса эквивалентной классической модели должна быть не меньше $N-1$. Наибольший выигрыш в размерности дают строго выпуклые множества, такие как множество квантовых состояний.

Рассмотрения настоящей главы носят общий характер и применимы в любой ситуации, в которой можно считать выполненным \”статистический постулат», гарантирующий саму возможность построения статистической модели. Мы видели, что возникновение енеклассических: моделей обуславливается наличием ограничений на возможные измерения. Квантовая теория является пока что единственным примером неклассической статистической модели реального класса объектов и явлений. Должна ли область применения неклассических моделей ограничиться явлениями микромира? В этой связи мы хотим привлечь внимание к подмеченным Н. Бором, на первый взгляд, быть может, неожиданным, но по существу весьма глубоким аналогиям между закономерностями микромира и явлениями живой природы. Как указывает Бор, требование наблюдаемости функционирующего биологического объекта накладывает принципиальные ограничения на возможные измерения, поскольку каждое из них предполагает какое-то воздействие на наблюдаемый объект.

Так же, как в квантовой физике клементарность» наблюдаемого микрообъекта не позволяет пренебречь результатами воздействия на него измерительных приборов, целостность живых организмов является тем фундаментальным качеством, которое исключает произвольное вмешательство в ход биологических процессов. Полный «классический» анализ биологического объекта может оказаться несовместимым с самими проявлениями жизни. Так, можно представить себе несколько воздействий, каждое из которых в отдельности допустимо, но сочетание их уже не является допустимым; известны ситуации, в которых существенную роль играет порядок воздействий. Подобные соображения показывают, что при создании статистических моделей биологических объектов, например функционирующего нейрона, возможность неклассической модели, в структуре которой заложена информация о принципиальных ограничениях, связанных с наблюдаемостью функционирующего объекта, является достаточно реальной. Как бы то ни было, несомненным является то, что классическая модель, ведущая происхождение от классической механики, а priori не является единственно возможной и ваиболее адекватной при статистическом моделировании немеханических объектов; принятие или непринятие той или иной модели должно в конечном счете основываться на данных опыта.
Комментарии х гл. 1
55 1-3. Вопросам статистической интерпретации квантовой механики посвящено больпое число раСот; отметим здесь статьо Фока [100], в которой, в частвости, четво проводится разделенне эксперимента на стадии, играющее важную роль в нашем изложении. В той или вной мере вопросы обосновавия, ннтерпретации, измерений затрагиваются почти в любом хурсе квантовой механики. С большой полнотой они обсуждаются в лекциях Фока [99], Мандельтама [67] и в книгах Бома [15], Блохинцева [11], [12], где можно также познакомиться с историей введения статистических кондепций в физику микромира.

Понятие статистической модели в значительной мере навеяно исследованиями по основаниям ввантовой механики с позиций частично упорядоченных пространств, предпринятыми Людвигом (см. статъи Харткемпера [105], Неймана [73] и Людвига [62] в сборнике «Основания квантовой механики и чястично упорядоченные линейные пространствау) и Дэвисом [38] – [41]. В работах Людвига основное внимание уделяется измерениям с двумя значениями. Общее определение измерения как аффинного отображения множества состояний в распределения вероятностей было сформулировано в работе автора [112] в рамках алгебраического подхода. Аксиоматический подход к квантовой теории, берущий за исходный элемент выпуклое множество состояний, был предложен Гаддером [30] (см. также Краузе [54]).

Теорема 2.1 доказана Мннковским. Бесконечномерным аналогом этого результата является известная теорема Крейна-Мильмана. Изложение теории выпуклости можно найти в книгах Рокафеллара [88] и Валентайна [20]. Углубленное всследование структуры выпуклых множеств, вопросов разложимости по крайним точкам, теорио симплексов Шоке содержит монография Алфсена [1].

По поводу спехтрального разложения эрмитовых матриц, а также других вопросов линейной алгебры см. Мальцев [66], Халмош [103].
8 4. Со времени публикации основополагающей работы Колмогорова [51] появилось немало курсов теории вероятностей. Доступное введение, достаточное для целей настоящего изложения, дает учебник Гнеденко [34]. В матехатической статистике вместо термина кизмерение используются термины кстратегия или крешающее правило». Рандомизованные стратегии были введены соэдателем теории статистических решений Вальдом [21] (см. также Фергюсон [98], Ченцов [128]).
5. Весьма специальным типом ограничений на измерения является рассматриваемая в классической статистике есхема неполных наблюдений, когда доступными наблюдению считаются лишь случайные величины, измеримые относительно $\sigma$-подалгебры ef $C$ et $(\Omega)$. Соответствующая редукция переводит симплекс $\$(\Omega)$ в симплекс распределений вероятностей на е $\boldsymbol{t}$, и кнеклассические множества состояний при этом не возникают.

Элементарное квантовомеханическое рассмотрение экспериментов с фильтрами Штерна – Герлаха дается в фейнмановских лекциях [97]. Другие модели со скрытыми переменными для частицы со спнном $1 / 2$ были предложены Беллом [9] и Кошеном и Шпеккером [52].
§ 6. Основы операторного формализма квантовой механики были изложены в классическом труде Дирака [37]. Иден днраковского подхода в значительной мере пронизьвают оригинальный курс Фейнмана [97], в котором, однако, существенное место занимакт конечномерные спиновые модели. Интересно отметить, что Фейнман, по-видимому, одним из первых сделал попытку обратить внимание вероятностников на проблемы взаимоотношений между теорией вероятностей и квавтовой механикой [96].

Математически строгое изложение основ квантовой механики, опирающееся на теорно гильбертова пространства, было предпринято фон Нейманом [101]. Ему принадлежит концепция оператора плотности. В книге фон Неймана получила также уточнение и развитие дираковская концепция наблюдаемой как оператора в гильбертовом пространстве. Эта кннга послужила отправньм пунктом для целого ряда попыток построення аксиоматического базиса квантовой теории, т. е. системы простых, фияически интерпретируемых постулатов; из которых как следствие вытекал бы формализм гильбертова пространства. В идеале эта снстема должна была бы играть здесь ту же роль, что аксиоматнка Қолмогорова в теории вероятностей. В лекциях Макки [65] была сформулирована снстема постулатов, которая приводит $x$ рассмотрению ялогик высказываний», обобщающих булевы $\sigma$-алгебры теории вероятностей. Задача тогда сводится к математической характеризадии логики проекторов в гильбертовом пространстве. Эта проблеза обсуждалась многни авторами и получила решение в работе Пирона [80]. Подробному изложению оснований квантовой механики, использующему слогики высказываний», посвящена книга Яуха [134], а математические проблемы этого подхода рассматриваются в книге Варадарайана [22]. Хороший обзор попыток аксиоматизацни квантовой механики дается в статье Вайтмана [19]. К сожаленню, в отличие от булевых алгебр, которые органически вписываютея в классическое всчвсление вероятностей єлогики высказываний, представляот собой скорее объект самостоятельного исследования, нежели рабочий апларат физической теории, которая имеет дело непосредственно с операторами. К тому же из постулатов Макки лишь исходные аксиомы 1-6 имеют бесспорное вероятностное толкование (по существу они очень близки к нашему определению статистической модели). В получающемся из них множестве «вопросов» (тестов) $\mathscr{L}$ затем просто постулируется существование ортогонального дополнення, что преврацает $\mathscr{L}$ в клогику высказываний». Здесь фактически уже заложено априорное принятие традиционной концепции наблюдаемой. Удовлетворительное рассмотрение в рамках этого подхода вопросов, составляющих содержание настолщей книги, представляется весьма затруднительным или же вообще неосуществимым.

Общне разложенвя единицы (называемые также положительными операторнозначными мерами, в отличие от проекторнозначных мер ортогональных разложений единицы) были введены в теорию квантового измерения Дэвисом и Льюисом [41] и Холево [113]-[116]. Дэвис и Льюнс рассматривали последовательные измерения и показали, что статистика последовательности квантовых измерений допускает простое описание в термннах, вообще говоря, неортогонального разложения еднннцы на пронзведении пространств результатов отдельных измеревий. Книга Дэвиса [39] содержит обзор результатов об соткрытых квантовых системах и квантовых случаиных процессах, в которых существенную роль играет изменение состояния после измерения. Изложенне в § 6 следует работам [113] – [116].

Рассмотрение квантовых систем с бесконечным числом степеней свободы (полей), а также систем с тах называемыми правилами суперотбора приводит к существенному алгебраическому обобщению квантовой механики (см., например, Сигал [91], Боголюбов, Логунов, Тодоров [14]), в котором состояния определяются как положительные линейные функционалы на алгебре снаблюдаемых». Большая часть излагаемой здесь теории измерения также допускает соответствующее алгебраическое обобщение.
§ 7. Утверждение о невозможности введения скрытых переменных содержится в книге фон Нейана [101]. Яух [134] усовершенствовал рассуждения фон Неймана, пользуясь терминологией ллогик высказываний. Нанболее ингересный результат в этом направлении получили Кошен и Шпеккер [52], доказавшие, что кквантовая логикая, т. е. логика проекторов в гильбертовом пространстве размерности больше 2, не допускает подходящего вложения в булеву алгебру (для размерности 2 такое вложение конструируется явно). Эта теорема интерпретируется автораии как доказательство невозможности введения скрытых переменных.

Однако эти, казалось бы, безупречные результаты не удовлетворили защитннков ескрытых переменных», которые продолжали настанвать на своем. Значительное прояснение ситуации было достигнуто в работе Белла [9]. Он постронл модель со скрытыми переменными для частицы со спином $1 / 2$ и продемонстрировал на неї далеко не очевндные физические следствия кестественных» математических предпосылок, которые безоговорочно принимались сторонниками квантовых логик». Дальнейшее исследованне привело х выделению интересного класса клокальных теорий, статистические предсказания которых не могут быть тождественны предсказаниям квантовой теории (таким образом, конструкция теоремы 7.1 дает кнелокальную теорно). Живое обсуждение всех этих вопросов можно найти в обзоре Вайтмана [19]. Белинфанте [8] проанализировал большое чнсло моделей и разделил их на три категории. Согласно этой классификации, кнеосуществимые теории фон Неимана – Яуха и КошенаШпеккера попадают в кулевой класс. «Первый класс образуют непротиворечивые теории со сирытыми переменными, статистическне предсказания которых тождественны предсказаниям квантовой теорин. В кните Белинфанте вскрываются физические различия между теориями нулевого и первого классов и объясняется, почему существующие доказательства невозможности» не являотся решающим аргументом против скрытых переменных. Представителем теорни первого класса является и предлагаемая здесь конструкция. Наконец, ко второму классу относятся физнческие модели, прнводящие к предсказаниям, отличающимся от квантовой теории.

Подробное обсуждение аналогий между квантовой механикой и некоторыми аспектами поведения живых организмов можно найти в сборнике выступлений Бора [16] (см. также Бом [15]). Знаменитий єпринцип дополнительности Бора проливает свет на природу принципиальных ограничений в экспернментах с микрообъектами.