Теория со скрытыми парамеграми призвана дать объяснение статистичности экспериментальных результатов через изменчивость значений некоторой совокупности переменных $\omega$, характеризующих «истинные свойства» объекта. Поэтому попытки «доказательств невозможности» обычно начинались с того, что каждому квантовому состоянию $\widehat{S}$ сопоставлялось некоторое распределение вероятностей $S(d \omega)$, а каждой квантовой наблюдаемой $\widehat{X}$ — некоторая функция $X(\omega)$ на гипотетическом фазовом пространстве $\Omega$. Таким образом, подразумевалось, что имеется пара взаимно-однозначных соответствий $\widehat{S} \leftrightarrow S, \widehat{X} \leftrightarrow X$.

Однако изложенные в предыдущем параграфе соображения о той роли, которую может играть в переходе к неклассическим моделям сжатие статистического описания, наводят на мысль, что теория со скрытыми параметрами должна допускать возможность «склеивания» статистически эквивалентных классических состояний и измерений. Поэтому с самого начала условимся, что классическое описание квантовой системы состоит в указании фазового пространства $\Omega$ и пары отображений: $S \rightarrow \widehat{S}$ из симплекса $\mathbf{S}(\Omega)$ на множество квантовых состояний $\widehat{\mathbf{S}}$ и $X \rightarrow \widehat{X}$ из пространства классических наблюдаемых $\mathrm{V}(\Omega)$ в пространство квантовых наблюдаемых $\widehat{\mathbf{V}}$. Область определения первого отображения не обязательно совпадает с $\mathbf{S}(\Omega)$, а второго c $\mathbf{V}(\Omega)$. Таким образом, классическое описание однозначно сопоставляет некоторым распределениям вероятностей $S=$ $=S(d \omega)$ операторы плотности $\widehat{S}$ и некоторым величинам $X=X(\omega)$ — квантовые наблюдаемые $\widehat{X}$ в пространстве $\mathrm{H}$; при этом одно и то же квантовое состояние $\widehat{S}$ может описываться несколькими распределениями вероятностей, а одна и та же квантовая наблюдагмая $\widehat{X}$ — несколькими разными функциями на фазовом пространстве. Распределения вероятностей $S(d \omega)$, отвечающие одному и тому же квантовому состоянию $\widehat{S}$, интерпретируются как разные способы приготовления ансамбля, описываемого этим состоянием, а функции $X(\omega)$, отвечающие одной и той же наблюдаемой $\widehat{X}$, связываются с различными способами наблюдения $\widehat{X}$.

Перейдем к рассмотрению требований, которые выдвигались к теориям со скрытыми параметрами. С точки зрения данного выше определения, соглашение об однозначности классического описания является ограничением, которое должно быть явно оговорено:
$(S .0)$ отображение $S \rightarrow \widehat{S}$ взаимно-однозначно;
(Х.0) отображение $X \rightarrow \widehat{X}$ взаимно-однозначно.

Эти условия, которые с математической точки зрения могут показаться «техническими», на самом деле имеют решающее значение. В то же время представляется затруднительным найти для них удовлетворительную физическую мотивировку.

Условие, что статистические предсказания теории со скрытыми параметрами во всех отношениях совпадают с квантовомеханическими, выражается равенством математических ожиданий:
(E.1) $\operatorname{tr} \widehat{S} \widehat{X}=\int_{\Omega} S(d \omega) X(\omega)$ для всех $S, X$.
Если это условие статистического соответствия не выполняется, то должно быть количественное расхождение между предсказаниями двух теорий, которое в принципе может быть обнаружено экспериментально. Изучение таких возможностей относится к компетенции физика, а не математика, и мы их рассматривать не будем.

Следующая группа условий касается свойств отображения $X \rightarrow \widehat{X}$. Формула (7) показывает, что результаты измерения наблюдаемой $f(\widehat{X})$ могут быть получены из результатов измерения $\widehat{X}$ простым пересчетом $x_{j} \rightarrow f\left(x_{j}\right)$. Для этого к прибору, который осуществляет измерение $\widehat{X}$, достаточно, например, присоединить калькулятор, запрограммированный на вычисление функции $f(x)$. Однако в теории со скрытыми параметрами любой способ измерения $\widehat{X}$ сводится к наблюдению некоторой величины $X(\omega)$. Последующий пересчет результатов наблюдения $x \rightarrow f(x)$ равносилен прямому наблюдению величины $f(X(\omega))$. Таким образом, наблюдение величины $f(X)$ представляет в теории со скрытыми параметрами один из способов измерения квантовой наблюдаемой $f(\widehat{X})$. Отсюда возникает функциональное условие:

(X.1) для любой $X$ и любой вещественной функции $f$ выполняется $f(\widehat{X})=f(\widehat{X})$.

Несложно показать, что условие (X.1) влечет одновременно выполнение следующих двух условий:
(X.2) если $X \rightarrow \widehat{X}$, то любое значение $X(\omega)$ принадлежит спектру $\left\{x_{j}\right\}$ квантовой наблюдаемой $\widehat{X}$.

Смысл этого спектрального условия очевиден: в теории со скрытыми параметрами должны сохраняться «объективные значения» наблюдаемых.
(X.3) для любых совместимых квантовых наблюдаемых $\widehat{X}, \widehat{Y}$ найдутся величины $X, Y$, такие, что $X \rightarrow \widehat{X}$, $Y \rightarrow \widehat{Y} u X+Y \rightarrow \widehat{X}+\widehat{Y}$.

Совместимость квантовых наблюдаемых означает, что существует измерительное устройство, которое в ходе одного эксперимента выдает результаты измерения $\widehat{X}$ и $\widehat{Y}$. Присоединяя простой сумматор, мы получаем прибор для измерения наблюдаемой $\widehat{X}+\widehat{Y}$. Правило конечных сумм (X.3) отражает эту возможность в теории со скрытыми параметрами.

Оно может быть заменено следующим правилом конечных произведений.
(X.4) для любых совместимых квантовых наблюдаемых $\widehat{X}, \widehat{Y}$ найдутся случайные величины $X, Y$, такие, что $X \rightarrow \widehat{X}, Y \rightarrow \widehat{Y} u X Y \rightarrow \widehat{X} \widehat{Y}$.

Из (Е.1) и (X.1) вытекает следующее усиление условия статистического соответствия:
$(E .2) \quad \operatorname{tr} \widehat{S} f(\widehat{X})=\int_{\Omega} S(d \omega) f(X(\omega)) \quad$ для всех $S, X, f$.
Отметим, что выполнение условия (Е.2), конечно, влечет (Е.1), но (X.1) следует из (Е.2) лишь при некотором дополнительном условии. Множество $\mathbf{S}_{0} \subset \mathbf{S}(\Omega)$ назовем отделяющим, если из того, что $\int_{\Omega} S(d \omega) X_{1}(\omega)=\int_{\Omega} S(d \omega) X_{2}(\omega)$ для всех $S \in \mathbf{S}_{0}$, следует $X_{1}=X_{2}$ (для упрощения мы опускаем некоторые подробности из теории меры и интегрирования). Если множество распределений вероятностей, которые соответствуют всевозможным квантовым состояниям в данном классическом описании (будем обозначать это множество $\mathbf{S}_{0}$ ), является отделяющим, то условие статистического соответствия (Е.1), очевидно, в.течет выполнение условия взаимной однозначности (X.0), при этом (Е.2) влечет (X.1). В самом деле, пусть $Y \rightarrow f(\hat{X})$. Тогда $\int_{\Omega} S(d \omega) Y(\omega)=$ $=\operatorname{tr} \widehat{S} f(\widehat{X})=\int_{\Omega} S(d \omega) f(X(\omega))$ для всех $S \in \mathbf{S}_{0}$ в силу (Е.2), откуда $f(X)=Y \rightarrow f(\widehat{X})$.
Наконец, остановимся на условии линейности:
(X.5) $(\widehat{\lambda X+\mu Y})=\lambda \widehat{X}+\mu \widehat{Y}$ для любых $X, Y$ и вешественных $\lambda, \mu$.

Это математически вполне безупречное условие не имеет прямой физической мотивации, что отмечалось еще в книге фон Неймана [1]. Если $\widehat{X}$ и $\widehat{Y}$ несовместимы, то измерения наблюдаемых $\widehat{X}, \widehat{Y}$ и $\widehat{X}+\widehat{Y}$ могут не иметь между собой ничего общего, кроме равенства средних значений в любом состоянии. Это последнее обстоятельство и было привлечено фон Нейманом для мотивировки условия типа (X.5). Проанализируем соответствующее рассуждение ${ }^{1}$. «В квантовой механике средние удовлетворяют соотношению $\langle\widehat{X}+\widehat{Y}\rangle=\langle\widehat{X}\rangle+\langle\widehat{Y}\rangle$. Поэтому и в модели скрытых параметров должно иметь место соотношение
\[
\int_{\Omega} S(d \omega)(X+Y)(\omega)=\int_{\Omega} S(d \omega) X(\omega)+\int_{\Omega} S(d \omega) Y(\omega) .
\]

Так как различным матрицам плотности $\widehat{S}$ соответствуют различные распределения вероятностей $S(d \omega)$, естественно потребовать выполнения соотношения
\[
(X+Y)(\omega)=X(\omega)+Y(\omega)
\]

Ээто рассуждение, в котором для удобства изменены обозначения, взято из статьи А. И. Ахиезера и Р. В. Половина «Почему невозможно ввести в квантовую механику скрытые параметры», 1972, УФН, т. 107, вып. 3, c. 463-487.

для любых наблюдаемых $X$ и $Y$, которые могут соответствовать как коммутирующим, так и некоммутирующим операторам $\widehat{X}$ и $\widehat{Y}$.»

Однако второе соотношение вытекает из первого только при дополнительном предположении, что множество классических состояний $\mathbf{S}_{0}$ в теории со скрытыми параметрами является отделяющим. Является ли такое предположение «естественным»? Очень простой (и характерный) пример неотделяющего множества — это семейство распределений вероятностей $S(d \omega)$ на произведении пространств $\Omega=$ $=\Omega^{\prime} \times \Omega^{\prime \prime}$, имеющих вид $S(d \omega)=S^{\prime}\left(d \omega^{\prime}\right) P\left(d \omega^{\prime \prime}\right)$, где $S^{\prime}-$ произвольное распределение на $\Omega^{\prime}$, а $P$ — фиксированное распределение на $\Omega^{\prime \prime}$. Именно таковы множества классических состояний в явно построенных моделях со скрытыми параметрами. Это имеет определенный физический смысл: $P\left(d \omega^{\prime \prime}\right)$ толкуется как равновесное распределение «скрытой» подсистемы, обеспечивающей стохастичность результатов измерения [24].

Условия (X.1), (X.5) были сформулированы выше в такой форме, что если принять соглашение об однозначности (X.0), то они превращаются в известные условия, предлагавшиеся в разное время в доказательствах невозможности введения скрытых параметров. Приведем наиболее примечательные результаты в этом направлении. Следующие утверждения видоизменены по сравнению с оригинальными формулировками, с тем чтобы привести их в соответствие с предложенной общей схемой.
Первое утверждение близко к теореме фон Неймана.
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Не существует классического описания, удовлетворяющего условиям (X.0), (X.2), (X.5).

Из проведенного выше обсуждения видно, что этот результат можно сформулировать так: не существует классического описания с отделяющим множеством классических состояний, удовлетворяющего условию статистического соответствия. Предположим, что классическое описание с указанными свойствами существует. Пусть $P(d \omega)-$ вырожденное распределение вероятностей на $\Omega$, сосредоточенное в точке $\omega_{0}$. Тогда в силу (X.0), (X.5) формула
\[
F(\widehat{X})=\int_{\Omega} P(d \omega) X(\omega)=X\left(\omega_{0}\right)
\]

определяет линейную функцию на вещественном линейном пространстве $\widehat{\mathbf{V}}$ квантовых наблюдаемых. В рассматриваемом здесь конечномерном случае почти очевидно, что всякая такая функция имеет вид $F(\widehat{X})=\operatorname{tr} \widehat{P} \widehat{X}$, где $\widehat{P} \in \widehat{\mathbf{V}}$ (в бесконечномерном случае требуются некоторые соображения непрерывности, важные с математической точки зрения, но не относящиеся к существу данной проблемы). Пусть $\widehat{X}$ пробегает всевозможные проекторы в $\mathrm{H}$, так что $x_{j}=0$ или 1 . Тогда в силу (X.2) величина $\operatorname{tr} \widehat{P} \widehat{X}$ принимает только значения 0 и 1 , что, очевидно, невозможно ни для какого $\widehat{P}$.

В историческом плане представляет интерес примечание Вигнера к его статье о скрытых параметрах ([25], с. 294). «Возражения фон Неймана обычно принято цитировать по его книге (разделы IV. 1 и IV.2). На правах старого друга фон Неймана и во имя сохранения исторической правды автор настоящей статьи хотел бы подчеркнуть, что убеждение фон Неймана в неадекватности скрытых параметров опирается в основном не на те соображения, которые изложены в его книге» $^{1}$. Однако независимо от того, какое значение придавал этим соображениям сам фон Нейман, опубликованные в его монографии и соответствовавшие преобладающему умонастроению физической общественности, они стали рассматриваться как решающий аргумент против скрытых параметров. В течение последующих 20 лет к этому вопросу практически не возвращались. Интерес к проблеме оживился в 60 -е годы после появления работ Д. Бома (1952) и Н. Винера и А. Зигеля (1953), содержавших явные (хотя и не во всем ясные) конструкции моделей со скрытыми параметрами [26], [27]. В ответ появился целый ряд модификаций теоремы фон Неймана. «Интеллектуальный диском-
${ }^{1}$ Эти неопубликованные аргументы фон Неймана будут рассмотрены в следующем параграфе.

форт» становился очевидным. Поворот в понимании проблемы ознаменовался появлением работ Дж. Белла (1966) и С. Кохена и Э. П. Шпеккера (1967) (см. [29], [30]).

В 1957 г. А. Глисон, отвечая на вопрос, поставленный Макки, доказал следующую очень нетривиальную теорему: пусть $F(\widehat{E})$ — вероятностная мера на проекторах в пространстве Н размерности $\geqslant 3$, т. е. функция, удовлетворяющая условиям: 1) $F(\widehat{E}) \geqslant 0$; 2) для любого ортогонального разложения единицы $\left\{\widehat{E}_{j}\right\}$ выполняется $\sum_{j} F\left(\widehat{E}_{j}\right)=1$; тогда $F(\widehat{E})=\operatorname{tr} \widehat{S} \widehat{E}$, где $\widehat{S}$ — матрица плотности в Н [28]. Отсюда сразу вытекает

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. При $n=\operatorname{dim} \mathrm{H} \geqslant 3$ не существует классического описания, удовлетворяющего условиям (X.0), (X.2), (X.3).

В самом деле, если бы такое описание существовало, то функция $F(\widehat{E})=E\left(\omega_{0}\right)$ удовлетворяла бы условиям теоремы Глисона. Тогда $F(\widehat{E})=\operatorname{tr} \widehat{S} \widehat{E}$, и, рассуждая как в конце доказательства утверждения 1 , мы приходим к противоречию.

Доказательство теоремы Глисона остается достаточно сложным даже после ряда последующих упрощений. Сам Глисон не занимался приложениями своей теоремы к проблеме скрытых параметров. На эту возможность обратил внимание Белл. Более того, он извлек из доказательства Глисона геометрическую идею, существенную с точки зрения проблемы скрытых параметров, и дал краткое прямое доказательство теоремы, по существу, совпадающей с утверждением 2.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. При $n=\operatorname{dim} \mathrm{H} \geqslant 3$ не существует классического описания, удовлетворяющего условиям (X.0), (X.1).

Этот результат был получен Кохеном и Шпеккером независимо от Белла и внешне совершенно другим путем. То, что совокупность условий (X.2) и (X.3) влечет (X.1) (при выполнении (X.0)) и таким образом утверждение 3 следует из утверждения 2, было обнаружено позднее [31]. Кохен и Шпеккер дали конкретное построение системы из 117 (!) единичных векторов в трехмерном пространстве, на которой не может быть определена функция $F$, обладающая свойствами меры из теоремы Глисона и принимающая только значения 0 и 1 . Другими словами, геометрия этой системы такова, что условия, определяющие такую меру, оказываются на ней противоречивыми. Насыщенная алгебраической терминологией и содержащая множество любопытных подробностей (например, замечание о том, что эта система из 117 векторов может быть реализована состояниями атома ортогелия), эта работа при своем появлении произвела большое впечатление. Позже было замечено, что доказательство Белла фактически сводится к построению аналогичной системы из 13 векторов, а затем это число было доведено до 8 [24].

Случай $\operatorname{dim} \mathrm{H}=2$, соответствующий квантовой частице со спином $1 / 2$, является особым. Как Белл, так и Кохен и Шпеккер приводят элеменгарные явные конструкции моделей со скрытыми параметрами в этом случае. Еще одна конструкция вытекает из общей модели, которая будет построена в следующем параграфе. На этих конструкциях хорошо прослеживается несостоятельность «доказательства невозможности» по типу утверждения 1 .

Обращает на себя внимание тот факт, что утверждения 2 и 3 совсем не используют условие статистического соответствия (Е.1), которое должно было бы быть основным для теории со скрытыми параметрами. По существу, эти утверждения не затрагивают статистики и говорят лишь о невозможности взаимно-однозначного соответствия между «квантовой логикой» проекторов и классической булевой алгеброй, которое сохраняло бы алгебраические соотношения для совместимых величин. Решающим здесь оказывается условие (Х.0), и это обстоятельство было отмечено в работе Белла. Для Кохена и Шпеккера условие (Х.0) является само собой разумеющимся, и поэтому они без колебаний делают из своей теоремы вывод о невозможности скрытых параметров.
Как же совместить эти математические результаты с моделями Бома и Винера-Зигеля? Нефизическим предположением, которое не выполняется в упомянутых моделях, является условие однозначности (X.0). Как уже отмечалось, разумно допустить, что одна и та же квантовая наблюдаемая может быть измерена множеством способов (что, в частности, отражается в неоднозначности разложения единицы, входящего в представление (6). Из утверждений 2, 3 следует, что в теории со скрытыми параметрами, удовлетворяющей условиям типа (X.1)-(X.4), описания этих способов с необходимостью должны быть различны.

Другой путь «доказательства невозможности» связан с идеями Э. Вигнера и Д. И. Блохинцева о невозможности определения совместного распределения для несовместимых квантовых наблюдаемых и основан на анализе свойств отображения $S \rightarrow \widehat{S}$.

Рассмотрим классическое состояние $S$ и соответствующее квантовое состояние $\widehat{S}$. Тогда классический ансамбль, определяемый состоянием $S(d \omega)$, можно рассматривать как квантовый ансамбль, определяемый состоянием $\widehat{S}$. Смесь классических ансамблей $p S_{1}+(1-p) S_{2}$ является в то же время смесью квантовых ансамблей $p \widehat{S}_{1}+(1-p) \widehat{S}_{2}$. Эти рассуждения приводят к следующему условию аффинности.
(S.1) для любых $S_{1}, S_{2}$ и вещественного $p, 0<p<1$ выполняется равенство $\left(\widehat{S_{1}+(1-p) S_{2}}\right)=p \widehat{S}_{1}+(1-p) \widehat{S}_{2}$.

УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Не существует классического описания, удовлетворяющего условиям (Е.2), (S.0), (S.1).

Предположим, что такее описание существует, и рассмотрим две произвольные квантовые наблюдаемые $\widehat{X}, \widehat{Y}$. Пусть $X, Y$ — какие-то соответствующие им классические величины. Обозначим $E(B \mid x, y)$ индикатор (измеримого) множества $B$ на плоскости $(x, y)$. Благодаря условию (S.0) для любого $\widehat{S}$ формула определяет распределение вероятностей на плоскости $(x, y)$. В силу условия (S.1) отображение $\widehat{S} \rightarrow \mu_{\widehat{S}}$ оказывается аффинным, т. е. определяет обобщенное квантовое измерение со значениями в плоскости $(x, y)$. Используя условие (Е.2), получаем, что распределения вероятностей наблюдаемых $\widehat{X}$ и $\widehat{Y}$ в состоянии $\widehat{S}$ являются маргинальными одномерными распределениями для $\mu_{\widehat{S}}(d x d y)$. Таким образом, мы приходим к абсурдному заключению, что любые квантовые наблюдаемые $\widehat{X}, \widehat{Y}$ совместимы.

Приведенные рассуждения в основном следуют работе Шриниваза [32]. Автор этой работы правильно отмечает, что решающим в его доказательстве является условие однозначности (S.0). Каждое квантовое состояние $\widehat{S}$ может быть различными способами представлено в виде смеси чистых состояний, и каждому способу представления может отвечать свое классическое состояние $S$. Если теория со скрытыми параметрами, удовлетворяющая условиям (S.2), (E.1), возможна, то она с необходимостью должна обладать такой неоднозначностью. В этом отношении можно провести аналогию между условием (S.0) и условием (X.0). ${ }^{1}$ Итак, из ряда требовании, выдвигавшихся к теориям со скрытыми параметрами, выделяются условия (E.1), (X.1), (S.1) (а также связанные с ними (Е.2), (X.2)(X.4)), которые имеют убедительное статистическое обоснование. По существу, эти требования сводятся к тому, чтобы классическое описание сохраняло основные структурные свойства статистической модели, выраженные аксиомами (А.1)-(А.3). «Доказательства невозможности» на самом деле не запрещают теорий, удовлетворяющих этим требованиям. Математически и физически корректный вывод, который следует из этих результатов, состоит в том, что удовлетворяющее этим требованиям классическое описание (если оно вообще возможно) с необходимостью должно носить неоднозначный характер, предполагающий «сжатие» статистического описания при переходе к квантовой теории.
${ }^{1}$ Что, однако, не было замечено в [32], где выражаются сомнения в физической обоснованности условии типа (X.1), (X.3), (X.4).