Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Оператором плотности называется положительный эрмитов оператор с единичным следом Примером оператора плотности является одномерный проектор (1.1). Как мы увидим в § 7, для всякого оператора плотности имеет место спектральное разложение аналогичное разложению (I.2.6) в конечномерном случае. Ряд здесь сходится по норме операторов. Из (2.1) вытекает, что собственные значения оператора плотности удовлетьоряют условиям Множество $\mathscr{E}(\mathscr{K})$ играет роль м ножества состояни й в квантовой механике. Из (2.2) вытекает, что в бесконечномерном случае справедлив аналог предложения 1.2.2: одномернье проекторы $S_{\psi} ; \psi \in \mathscr{K},(\psi \mid \psi)=1$, образуют остов множества $\mathcal{O}(\mathscr{K})$. Состояния, представимые одномерными проекторами, называются иистьми. Перейдем к описанию квантовых измерений. Пусть $U$ — измеримое пространство результатов (например, $U$ конечное множество или область в $R^{n}$ с б-алгеброй борелевских множеств). Следуя § I.6, назовем иямерением со эначениями в $U$, или, короче, $U$-иямерением, аффинное отображение $S \rightarrow \mu_{S}(d u)$ выпуклого множества состояний $\varsubsetneqq(\mathscr{C})$ в множество распределений вероятностей на $U$. Распределение вероятностей $\mu_{S}(d u)$ интерпретируется как распределение вероятностей результатов измерения относительно состояния $S$. Далее мы установим аналог предложения 1.6.1, позволяющий описать измерения в терминах разложений единишы в гильбертовом пространстве $\mathscr{\mathscr { C }}$. Ризложением единиць на $U$ вазывается семейство $M=$ $=\{M(B)\}$ эрмитовых операторов в $\mathscr{\mathscr { C }}$, где $B$ пробегает измеримые подмножества $U$, такое, что Эти условия напоминают определение вероятностной меры (однако не с числовыми, а с операторными значениями), и разложения единицы называются иногда вероятностными операторными мерами или положительными операторно-значными мерами. Если $U$-конечное множество и $\left\{M_{\mu} ; u \in U\right\}$ — набор эрмитовых операторов, удовлетворяющих условиям (I.6.2), т. е. разложение единицы в смысле § I.6, то формула определяет операторно-значную меру на алгебре всех подмножеств $U$, т. е. разложение единицы в смысле сформулированного выше определения. Обратно, всякое разложение единицы на конечном $U$ имеет такую структуру. Частным, но весьма важным случаем являются ортогональные разложения единицы, удовлетворяющие кроме условий 1) -3) также требованию Қак и в конечномерном случае (см. § 1.6), это равносильно условию Аналог предложения I.6.1 устанавливает взаимнооднозначное соответствие между $U$-измерениями $S \rightarrow \mu_{S}(d u)$ и разложениями единицы на $U$. Теорема 2.1. Пусть $S \rightarrow \mu_{S}-U$-измерение. Тогда существует (единствекное) разложсение единиць $M=\{M(B)$; $B \in$ ot $(U)\}$ в $\mathscr{K}$ такое, ито для любого состояния $S$ Обратно, если $M=\{M(B)\}$ — разложение единиць, то (2.3) определятет $U$-измерение. Соотношение (2.3) мы будем иногда символически записывать в виде Заметим, что в правой части формулы (2.3) стоит след не-положительного (и не-эрмитова) оператора, который, однако, как мы покажем в § 7 , является ядерным. Пока же заметим, что для чистого состояния Наиболее интересным представляется случай, когда результатами измерений являются вещественные числа. В этом случае простые измерения описываются в терминах наблюдаемых, т. е. операторов в $\mathscr{K}$, которые являются аналогом случайных величин в классической теории вероятностей. Следующий параграф посвящен более детальному рассмотрению этой связи.
|
1 |
Оглавление
|