Оператором плотности называется положительный эрмитов оператор с единичным следом
\[
S \geqslant 0, \quad \operatorname{Tr} S=1 .
\]

Примером оператора плотности является одномерный проектор (1.1). Как мы увидим в § 7, для всякого оператора плотности имеет место спектральное разложение
\[
\left.S=\sum_{j} s_{j} \mid \psi_{j}\right)\left(\psi_{j} \mid,\right.
\]

аналогичное разложению (I.2.6) в конечномерном случае. Ряд здесь сходится по норме операторов. Из (2.1) вытекает, что собственные значения оператора плотности удовлетьоряют условиям
\[
s_{i} \geqslant 0, \quad \sum_{i} s_{j}=1 .
\]
ности в $\mathscr{K}$; если $\left\{S_{j}\right\}$-операторы плотности, а $\left\{p_{i}\right\}$ конечное распределение вероятностей, то оператор $\sum_{i} p_{j} S_{i}$ выпуклое множество.

Множество $\mathscr{E}(\mathscr{K})$ играет роль м ножества состояни й в квантовой механике. Из (2.2) вытекает, что в бесконечномерном случае справедлив аналог предложения 1.2.2: одномернье проекторы $S_{\psi} ; \psi \in \mathscr{K},(\psi \mid \psi)=1$, образуют остов множества $\mathcal{O}(\mathscr{K})$. Состояния, представимые одномерными проекторами, называются иистьми.

Перейдем к описанию квантовых измерений. Пусть $U$ – измеримое пространство результатов (например, $U$ конечное множество или область в $R^{n}$ с б-алгеброй борелевских множеств). Следуя § I.6, назовем иямерением со эначениями в $U$, или, короче, $U$-иямерением, аффинное отображение $S \rightarrow \mu_{S}(d u)$ выпуклого множества состояний $\varsubsetneqq(\mathscr{C})$ в множество распределений вероятностей на $U$. Распределение вероятностей $\mu_{S}(d u)$ интерпретируется как распределение вероятностей результатов измерения относительно состояния $S$. Далее мы установим аналог предложения 1.6.1, позволяющий описать измерения в терминах разложений единишы в гильбертовом пространстве $\mathscr{\mathscr { C }}$. Ризложением единиць на $U$ вазывается семейство $M=$ $=\{M(B)\}$ эрмитовых операторов в $\mathscr{\mathscr { C }}$, где $B$ пробегает измеримые подмножества $U$, такое, что
1) $M(\Phi)=0, M(U)=I$;
2) $M(B) \geqslant 0, B \in$ et $(U)$;
3) для любого разбиения $B=\bigcup_{j} B_{j}\left(B_{j} \cap B_{k}=\varnothing\right.$ при $j
eq k) M(B)=\sum_{j} M\left(B_{j}\right)$, где ряд сходится в смысле слабой сходимости операторов (см. §1).

Эти условия напоминают определение вероятностной меры (однако не с числовыми, а с операторными значениями), и разложения единицы называются иногда вероятностными операторными мерами или положительными операторно-значными мерами. Если $U$-конечное множество и $\left\{M_{\mu} ; u \in U\right\}$ – набор эрмитовых операторов, удовлетворяющих условиям (I.6.2), т. е. разложение единицы в смысле § I.6, то формула
\[
M(B)=\sum_{u \in B} M_{u}, \quad B \subset U,
\]

определяет операторно-значную меру на алгебре всех подмножеств $U$, т. е. разложение единицы в смысле сформулированного выше определения. Обратно, всякое разложение единицы на конечном $U$ имеет такую структуру.

Частным, но весьма важным случаем являются ортогональные разложения единицы, удовлетворяющие кроме условий 1) -3) также требованию
\[
M\left(B_{1}\right) M\left(B_{2}\right)=0 \text {, если } B_{1} \cap B_{2}=\varnothing .
\]

Қак и в конечномерном случае (см. § 1.6), это равносильно условию
\[
M(B)^{2}=M(B), \quad B \in \operatorname{et}(U),
\]
т. е. проекторно-значности меры $M(d u)$.

Аналог предложения I.6.1 устанавливает взаимнооднозначное соответствие между $U$-измерениями $S \rightarrow \mu_{S}(d u)$ и разложениями единицы на $U$.

Теорема 2.1. Пусть $S \rightarrow \mu_{S}-U$-измерение. Тогда существует (единствекное) разложсение единиць $M=\{M(B)$; $B \in$ ot $(U)\}$ в $\mathscr{K}$ такое, ито для любого состояния $S$
\[
\mu_{S}(B)=\operatorname{Tr} S M(B), \quad B \in \operatorname{et}(U) .
\]

Обратно, если $M=\{M(B)\}$ – разложение единиць, то (2.3) определятет $U$-измерение.

Соотношение (2.3) мы будем иногда символически записывать в виде
\[
\mu_{S}(d u)=\operatorname{Tr} S M(d u) .
\]

Заметим, что в правой части формулы (2.3) стоит след не-положительного (и не-эрмитова) оператора, который, однако, как мы покажем в § 7 , является ядерным. Пока же заметим, что для чистого состояния
\[
\mu_{S_{\psi}}(B)=(\psi \mid M(B) \Psi),
\]
так как согласно (1.16) $\operatorname{Tr} \mid \psi)(\psi \mid X=(\psi \mid X \psi)$. Измерения, отвечающие ортогональным разложениям единицы, мы условимся называть простыми. Всякое простое измерение является крайней точкой выпуклого множества $\mathfrak{M}(U)$ всех $U$-измерений (доказательство этого совершенно такое же, как в конечномерном случае; см. предложение I.6.2), однако обратное, конечно, неверно.

Наиболее интересным представляется случай, когда результатами измерений являются вещественные числа. В этом случае простые измерения описываются в терминах наблюдаемых, т. е. операторов в $\mathscr{K}$, которые являются аналогом случайных величин в классической теории вероятностей. Следующий параграф посвящен более детальному рассмотрению этой связи.