Предположим, что установка, приготовляющая квантовое состояние, сдвигается параллельно себе по оси абсцисс на расстояние $x$, что описывается преобразованием $\xi^{\prime}=\xi-x$ (рис. 8). Тогда, если исходное состояние объекта описывалось оператором плотности $S$, новое состояние будет иметь оператор плотности $S_{x}=V_{x} S V_{x}^{*}$, где $x \rightarrow V_{x}$ – непрерывное проективное представление группы сдвигов вещественной прямой. Для таких однопараметрических групп имеет место
\”) $\mathrm{K}$ сожалению, элементарный объект (по Вигнеру-элементарвая система) не есть то же сакое, что элементарная частнца в понимании физиков. Полностью ответить на вопрос, что же является математическим эквивалентом понятия элементарной частицы, по-видимому, сможет лишь будущая теория. Тем не мевее, допуская вольность речи, мы иногда будем называть «частищей элементарный квантовый объект в определенном здесь смысле. .

Предложение 2.1. Всякое непрерывное проективное представление $x \rightarrow V_{x}$ однопараметрической непрерывной груплы сдвигов ножет быть сведено к унитарному, т. е.
Рис. 8.

существует непрерывное семейство унитарных операторов $x \rightarrow U_{x}$ такэе, что $V_{x}=\alpha_{x} U_{x}$, где $\left|\alpha_{x}\right|=1$ и
\[
U_{x_{1}} U_{x_{2}}=U_{x_{1}+x_{2}} .
\]

Операторы $\left\{U_{x}\right\}$ образуют группу унитарных операторов; по теореме Стоуна (см. § II.4), существует самосопряженный оператор $P$ в $\mathscr{K}$ такой, что
\[
U_{x}=\exp (-i P x), \quad-\infty<x<\infty .
\]

Поэтому действие однопараметрической группы пространственных сдвигов на множестве квантовых состояний описывается формулой
\[
S \rightarrow S_{x}=e^{-i P x} S e^{i P x} .
\]

По причинам, которые мы выясним в дальнейшем, инфивитезимальный оператор $P$ связывается с импульсом (количеством движения) рассматриваемого квантового объекта.

Все это относится не только к пространственным сдвигам, но и к любой другой однопараметрической подгруппе преобразований. Рассмотрим пресбразование системы отсчета, при котором пространственная система координат остается неизменной, но сдвигæтся отсчет времени $\tau^{\prime}=$ $=\tau-t$. Это соответствует тому, что все измерения начинаются на время $t$ позже по сравнению с исходным отсчетом времени. Тогда оператор плотности также изменится по формуле типа (2.1). Обозначая соответствующий инфннитезимальный оператор через $-H$, имеем
\[
S_{t}=e^{-t H t} S e^{t H t} \text {. }
\]

Дифференцируя формально это соотношение по $t$, получаем
\[
i \frac{d S_{t}}{d t}=\left[H, S_{t}\right] ; \quad S_{0}=S .
\]

В частности, если $S=\mid \psi)(\psi \mid-$ чистое состояние и $\psi \in$ $\in \mathscr{D}(H)$, то $\left.S_{t}=\mid \psi_{t}\right)\left(\psi_{t} \mid\right.$, где $\left.\left.\mid \psi_{t}\right)=e^{-i H t} \mid \psi\right)$, так что соотношение (2.3) вытекает из формулы (II.4.13), которая принимает вид
\[
i \frac{d \psi_{t}}{d t}=H \psi_{t} ; \quad \psi_{0}=\psi .
\]

Это уравнение называется уравнением Шредин гера, а оператор $H$, по причинам, которые станут ясны позднее, называется оператором энергии или гамильтонианом. Конкретный вид оператора $H$ определяет динамику квантового объекта, т. е. закон изменения состояния во времени.

Мы получим строгую версию соотношения (2.3) в гл. VI, опираясь на математический аппарат, развитый в $\$ 7,8$ предыдущей главы, а пока ограничимся рассмотрением чистых состояний.

Если $X$ – ограниченная наблюдаемая, то для ее среднего значения $\mathrm{E}_{t}(X)=\left(\psi_{t} \mid X \psi_{t}\right)$, в силу (2.4), имеет место соотношение
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \mathrm{E}_{t}(X)=\left(\left.\frac{d \psi_{t}}{d t} \right\rvert\, X \psi_{t}\right)+\left(X \psi_{t} \left\lvert\, \frac{d \psi_{t}}{d t}\right.\right)= \\
\quad=i\left(H \psi_{t} \mid X \psi_{t}\right)-i\left(X \psi_{t} \mid H \psi_{t}\right)=-2 \operatorname{Im}\left(H \psi_{t} \mid X \psi_{t}\right) .
\end{array}
\]
(Дифференцирование здесь законно в силу ограниченности $X$.) Это можно также переписать в виде
\[
\frac{d}{d t} \mathrm{E}_{t}(X)=\mathrm{E}_{t}(i[H, X D,
\]

если правая часть имеет смысл. Используя соотношение неопределенностей (II.6.7), получаем важное неравенство Мандельштама-Тамма
\[
\mathrm{D}_{t}(X) \mathrm{D}_{t}(H) \geqslant \frac{1}{4}\left|\frac{d}{d t} \mathrm{E}_{t}(X)\right|^{2} .
\]

В гл. VI мы обобщим это неравенствона произвольные состояния $S_{t}$ и измерения Мс конечными вторыми моментами:
\[
\mathrm{D}_{t}\{M\} \mathrm{D}_{t}(H) \geqslant\left.\left.\begin{array}{l}
1 \\
4
\end{array}\right|_{d \vec{t}} ^{d} \mathrm{E}_{t}\{M\}\right|^{3} .
\]

Аналогичный результат имеет место для любой однопараметрической группы, например для группы пространственных сдвигов:
\[
D_{x}\{M\} D_{x}(P) \geqslant \frac{1}{4}\left|\frac{d}{d x} \mathrm{E}_{x}\{M\}\right|^{2} .
\]

Значение этих результатов состоит в том, что они позволяют получить принципиальную нижнюю границу для точности измерения физических параметров, существенно обобщающую обычное соотношение неопределенностей.

Рассмотрим сначала измерения параметра положения (координаты) квантового объекта. Если установка, приготовляющая квантовое состояние $S$, сдвигается параллельно себе на расстояние $x$, то новым состоянием будет $S_{x}$, определяемое соотношением (2.1). В этом смысле параметр $\boldsymbol{x}$ отражает информацию о положении микрообъекта. Предположим теперь, что истинное значение параметра координаты $x$ неизвестно и должно быть определено по результатам измерений. Пусть $\boldsymbol{M}=\{\boldsymbol{M}(d \hat{x})\}-$ некоторое иэмерение, которое производится с целью оценки истинного значения $x$. Предположим, что измерение $\boldsymbol{M}$ не дает систематической погрешности; математически это означает, что среднее эначение результата измерения равно значению измеряемой величины, т. е.
\[
\mathrm{E}_{x}\{M\}=x, \quad-\infty<x<\infty .
\]

Следуя терминологии, принятой в математической статистике, мы называем такие измерения несмещенными. Для несмещенного измерения $\frac{d}{d x} E_{x}\{M\} \equiv 1$, так что наше неравенство принимает вид
\[
\mathrm{D}_{x}\{M\} \geqslant \frac{1}{4 D_{x}(P)} .
\]

Таким образом, для любого весмещенного измерения параметра координаты дисперсия ограничена снизу величиной, обратно пропорциональной дисперсии (кнеопределенности») импульса $P$.

Аналогичный результат имеет место и для измерений параметра өремени $t$. Рассмотрим семейство состояний (2.2). Замена состояния $S$ на $S$, означает перенос во врешени процедуры приготовления, Допустим, что нас интересует иямерение момента осуществления некоторого события, связанного с данным объектом, причем этот момент обладает следующим свойством: перенос во времени процедуры приготовления исходного состояния приводит к точно такому же сдвигу момента осуществления рассматриваемого события. Таким свойством обладает, например, всякая величина типа момента достижения или момента прохождения». Дисперсия любого несмещенного измерения такого момента времени ограничена снизу величиной, обратно пропорциональной «неопределенности» энергии $H$ в исходном состоянии:
\[
\mathrm{D}_{t}\{M\} \geqslant \frac{1}{4 \mathrm{D}_{t}(H)} .
\]

В физической литературе долго дебатировался вопросприменимо ли соотношение неопределенностей к про. должительности измерения $t_{2}-t_{1}$. В этой связи заметим, что величина $t_{2}-t_{1}$ вообще не фигурирует в нашем анализе; конечный результат эксперимента – распределение вероятностей результатов измерения – получается по истечении времени $t_{2}-t_{1}$, которое определяется конкретным механизмом измерения и, вообще говоря, может быть произвольным. Однако в тех случаях, когда продолжительность эксперимента обусловлена моментом наступления некоторого события (например, пгохождения частищы), т. е. прибор работает в режиме ожидания, и эксперимент заканчивается, когда ожидаемое событие наступает, соотношения (2.7), (2.9), конечно, применимы к дисперсии статистической оценки возможной продолжительности измерения $t_{2}-t_{1}$.