Замечательным свойством оператора уничтожения является существование кпереполненной непрерывной системы собственных векторов. Вводя комплексные числа $z=$ $=\frac{1}{\sqrt{2 \hbar \omega}}(\omega \bar{Q}+i \hbar P)$, положим $W_{2}=W_{\bar{Q}, n \bar{P}}$. Напомним, что $m=1$, так то $\boldsymbol{h}=1 / \mu$. Соотношение Вейля-Сигала примет вид
\[
W_{z_{4}} W_{z_{1}}=\exp \left(i \operatorname{Im} z_{1} z_{2}\right) W_{z_{1}+z_{0}} .
\]

Обозначая $\mid 2)=\left|P, Q ; \frac{n}{2 \omega}\right|$, имеем из (6.5)
\[
|z\rangle=W_{z}(0) \text {, }
\]

где (0) – вектор основного состояния. Из уравнения (6.2), определяющего вектор состояния минимальной неопределенности, вытекает
\[
a \mid z)=z \mid z), \quad z \in \mathbb{C} .
\]

Таким образом, векторы |z) являются собственными векторами оператора $a$. Однако, в отличие от собственных векторов любого самосопряженного оператора, они неортогональны; из (11.1), (11.2) можно получить
\[
\left(z_{1} \mid z_{2}\right)=\exp \left[-\frac{1}{2}\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}-2 z_{1} z_{2}\right)\right]
eq 0 .
\]

Состояния $\mid z)(z \mid$ называюлся иногда когерентными состояниями квантового осциллятора (это назвавие происходит из квантовой оптики, где такие состояния играют большую роль). Таким образом, когерентные состояния образуют подсемейство состояний миннмальной неопределенности, отвечающее фиксированному значению параметра $\sigma^{\Omega}=\frac{\hbar}{2 \omega}$ и характеризующееся специальньм выбором комплексной структуры на плоскости параметров ( $P, \bar{Q}$ ).

Свойство полноты (6.6) в терминах когерентных состояний принимает вид
\[
\left.\int_{C} \mid z\right)\left(z \left\lvert\, \frac{d^{2} z}{\pi}=I\right.\right.
\]

где $d^{2} z=\frac{1}{2} d \mathbb{P} d Q$. Используя «переполненную систему $\{\mid z)\}$, построим новое представление, в котором диагонален оператор рождения $a^{*}$.
Применяя разложение (11.5) к вектору $\psi$, получаем
\[
\left.|\psi\rangle=\int \mid z\right)(z \mid \Psi) \frac{d z}{\pi} .
\]

Эта формула устанавливает взаимно-однозначное соответствие между векторами $\psi \in \mathscr{\mathscr { C }}$ и функциями комплексного переменного $\psi(z)=(z \mid \psi)$. При этом
\[
(\Psi \mid \varphi)=\int_{C}(\Psi \mid z)(z \mid \varphi) \frac{d^{2} z}{\pi} .
\]

Отсюда вытекает, что пространство $\mathscr{K}$ взаимно-однозначно и изометрично отображается в пространство $\mathscr{L}^{2}(\mathbb{C})$ квадратично-интегрируемых функций комплексного переменного z. Опишем образ пространства $\mathscr{K}$ при этом отображении. Полагая в (11.4) $z_{2}=0$, получаем, что вектор основного состояния |0) отображается в функцию ( $2 \mid 0)=$ $=\exp \left(-|z|^{2} / 2\right)$. Следовательно,
\[
(z \mid n)=\frac{1}{\sqrt{n \mid}}\left(z\left|a^{* n}\right| 0\right)=\frac{z^{n}}{\sqrt{n \mid}} e^{-|z|^{2 / 2}}, \quad n=0,1, \ldots
\]

Так как всякий $\psi \in \mathscr{C}$ представляется в виде
\[
\left.\mid \psi)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} \mid n\right), \quad \sum_{n=0}^{\infty}\left|c_{n}\right|^{2}=(\psi \mid \psi)<\infty,
\]

то $\psi(z)=(z \mid \psi)$ представляется в виде
\[
\Psi(z)=\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_{n}}{\sqrt{n !}} z^{n}\right) e^{-|z| / / 2} .
\]

Таким образом, искомо пространство $\mathscr{E}^{2}(\mathbb{C})$ состоит из функций вида $\psi(z)=\overline{f(z)} e^{-\left.1 z\right|^{1 / 2}}$, где $f(z)$ – целая функция такая, что $\int|f(z)|^{2} e^{-|z|^{2}} d^{2} z=\int|\psi(z)|^{2} d^{2} z<\infty$. Скалярное произведение в $\mathscr{E}^{\mathfrak{I}}(\mathbb{C})$ дается формулой
\[
\left(\psi_{1} \mid \psi_{2}\right)=\int_{C} \overline{\psi_{1}(z)} \phi_{2}(z) \frac{d z}{\pi}=\int_{C} \overline{f_{1}(z)} f_{2}(z) e^{-|z| z} \frac{d_{2}}{\pi} .
\]

Всякий ограниченный оператор $A$ задается в $\mathcal{E}^{2}(\mathbb{C})$ ядром $\left(z_{1}|A| z_{9}\right)$, так что
\[
\left.A=\int_{\mathbb{C}} \int_{\mathbb{C}} \mid z_{1}\right)\left(z_{1}|A| z_{2}\right)\left(z_{2} \left\lvert\, \frac{d^{2} z_{1} d^{2} z_{2}}{\pi^{2}} .\right.\right.
\]

В частности, для операторов $W$, из (11.1), (11.4) полуqаем
\[
\left(z_{1}\left|W_{z}\right| z_{2}\right)=\exp \left[-\frac{1}{2}\left(\left|z_{1}\right|^{2}+|z|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right)+z_{1} z_{3}+z_{1} z-z z_{2}\right] .
\]

Оператор рождения задается в этом пространстве умножением на $z$, так как $\left(z \mid a^{*} \psi\right)=z(z \mid \psi)$; оператор уничтожения имеет вид $\frac{\partial}{\partial z}+\frac{z}{2}$.

Представление в пространстве $\mathcal{E}^{2}(\mathbb{C})$ иногда называется представлением Баремана. Изометрический переход между представлениями Баргмана и Фока дается ядром (11.6); между представлениями Баргмана и Шредингера – ядром
\[
(\xi \mid z)=(\pi \hbar / \omega)^{-1 / 4} \exp \left[-\left(\sqrt{\frac{\omega}{2 \hbar}} \xi-z\right)^{2}+i z \operatorname{Im} z\right],
\]

которое получается из формулы (6.3).
Неортогональное разложение единицы (7.7) в терминах комплекс ной переменной $z$ принимает вид
\[
\left.M\left(d^{2} z\right)=\mid z\right)\left(z \left\lvert\, \frac{d^{2} z}{\pi} .\right.\right.
\]

Применяя формально к равенству (11.5) операторы $a$ и $a^{*}$ и учитьвая (11.3), получаем кспектральные разложения»
\[
a^{*}=\int_{\mathbb{C}} z M\left(d^{2} z\right), \quad a=\int_{C} z M\left(d^{2} z\right) .
\]

Этим соотношениям легко придать точный смысл. Заметим, что для $\boldsymbol{\psi} \in \mathscr{\mathscr { V }}\left(a^{*}\right)$
\[
\left|a^{*} \Psi\right|^{2}=\int|z|^{2}|(\psi \mid z)|^{2} \frac{d^{2} z}{\pi} .
\]

В самом деле, согласно (11.3), (11.5) $\left|a^{*} \psi\right|^{2}=\int \left\lvert\,\left(a^{*} \psi \mid z\right)^{2} \frac{d^{2} z}{\pi}=\right.$ $-\int|z|^{2}|(\psi \mid z)|^{2} \frac{d^{2} z}{\pi}$. Таким образок,
\[
\mathscr{D}\left(a^{*}\right)=\left\{\psi: \int|z|^{2} \left\lvert\,\left(\psi|z|^{2} \frac{d^{2} z}{\pi}<\infty\right\} .\right.\right.
\]

Для любого $\boldsymbol{\psi} \in \mathscr{D}\left(a^{*}\right)$ сходится интеграл $\int|z|^{2}\left(\psi \mid M\left(d^{2} z\right) \psi\right)$, a следовательно, п интегралы $\left(\varphi \mid a^{*} \psi\right)=\int z\left(\varphi \mid M\left(d^{2} z\right) \psi\right),(\varphi \mid a \psi)=$ $=\int z\left(\varphi \mid M\left(d^{2} z\right) \phi\right)$. Резюмируя, можно сказать, что оператор $a^{*}$ п разложение единицы $M\left(d^{2} z\right)$ связаны соотношевиями
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{D}\left(a^{*}\right)=\left\{\psi: \int|z|^{2}\left(\psi \mid M\left(d^{2} z\right) \psi\right)<\infty\right\}_{i} \\
\left.\left|a^{*} \psi \beta=\int\right| z\right|^{2}\left(\psi \mid M\left(d^{2} z\right) \psi\right), \psi \in \mathscr{V}\left(a^{*}\right) ; \\
\left(\varphi \mid a^{*} \psi\right)=\int z\left(\varphi \mid M\left(d^{2} z\right) \psi\right), \varphi, \psi \in \mathscr{V}\left(a^{*}\right),
\end{array}
\]

додобньми тем, которье связывакт максимальный симметричный оператор и его спектральную меру (см. \$ II. 4).

Однако оператор $a^{*}$ не является самосопряженньп или даже снмметричным. Одним из следствий этого является то, что долхна быть уточнена формула для функцић от оператора $a^{*}$. Применяя к равенству (11.5) слева оператор $a^{m}$, а справа-оператор $\left(a^{*}\right)^{n}$, получаем
\[
a^{m}\left(a^{*}\right)^{n}=\int_{\mathbb{C}} z^{m} \bar{z}^{n} M\left(d^{2} z\right) .
\]

Важно заметнть, что порядок операторов $a$ и $a *$ в левои части घграет существенную роль, так как $a$ и $a^{*}$ не комутируют Такой порядок, при котором все оператори $a^{*}$ следуют за $a$, называется вормальным. Отсюда можно получнть формулы типа
\[
F\left(a, a^{*}\right)=\int F(z, z) M\left(d^{2} z\right)
\]

для фунхций $F(\cdot, \cdot)$, разлагающихся в достаточно быстро сходящийся степеввой ряд по $z$ в $\bar{z}$, првчем под $F\left(a, a^{*}\right)$ понимается нормально упорядоченное выражение.

Далеко ве всякий оператор в гильбертовом пространстве обладает спектральным разложеннем типа (11.9). Выясним, благодаря какому свойству оператора $a^{*}$ такое разложение оказывается возможвым. Для этого необходимо напомнить понятие нормального оператора. Отраниченньй оператор $X$ назьвается пормальным, если $\left[X, X^{*}\right]=0$; это равносильво тому, что $|X \psi|^{2}=\left|X^{*} \Psi\right|^{2}, \psi \in \mathscr{K}$. Һлотно определенный (неограниченный) одератор $X$ нормален, если $\mathscr{Y}(X)=\mathscr{Y}\left(X^{*}\right)$ и $|X \psi|^{2}=\left|X^{*} \psi\right|^{2}, \psi \in \mathscr{D}(X)$. Дия нормальноео олератора сунествует единстьенное ортогональное раяломсение единицко $E\left(d^{2} z\right)$ ва $\mathbb{C}$ такое, что
\[
\begin{aligned}
\mathscr{D}(X) & =\left\{\psi: \int|z|^{2}\left(\psi \mid E\left(d^{2} z\right) \psi\right)<\infty\right\} \\
|X \psi|^{2} & =\left\{|z|^{2}\left(\psi \mid E\left(d^{2} z\right) \psi\right), \psi \in \mathscr{V}(X) ;\right. \\
(\varphi \mid X \psi) & =\int z\left(\varphi \mid E\left(d^{2} z\right) \psi\right), \varphi, \psi \in \mathscr{V}(X) .
\end{aligned}
\]

Таким образом, вормальнье операторы, как и самосопряженнье, сдиагоналнзуемьь, во могут нметь комплексный спектр.

Плотно определенный оператор $\boldsymbol{Y}$ в $\mathscr{K}$ назовем субнормальни, если он расширяется до нормального одератора $\underset{X}{ }$ в некотором гильбертовом пространстве $\mathscr{Z} \supset \mathscr{K}$, т. е. $Y \psi=X \psi, \psi \in \mathscr{V}(Y)$. Оператор субнормамен тода и толью тозда, козда суицестеует раз голсение единиць $M\left(d^{2} z\right)$ тахое, тто
\[
\begin{aligned}
\mathscr{V}(Y) & \subseteq\left\{\psi: \int|z|^{2}\left(\Psi \mid M\left(d^{2} z\right) \psi\right)<\infty\right\} \\
|Y \psi|^{2} & =\left\{\left.i z\right|^{2}\left(\psi \mid M\left(d^{2} z\right) \psi\right), \psi \in \mathscr{D}(Y) ;\right. \\
(\varphi \mid Y \psi) & =\int z\left(\varphi \mid M\left(d^{2} z\right) \psi\right), \varphi, \psi \in \mathscr{D}(Y) .
\end{aligned}
\]

В самом деле, если $X$ – нормальное расширенне оператора $Y$, то разложение единицы
\[
M\left(d^{2} z\right)=\tilde{E} E\left(d^{2} z\right) \tilde{E},
\]

где $\tilde{E}$-проектор на исходное гильбертово простравство, удовлетворяет соотношениям (11.10). Обратно, пусть существует разложение единицы $M\left(d^{2} z\right)$, удовлетворяющее условиям (11.10). Пусть $E\left(d^{2} z\right)$ построенное по теореме Наймарка (см. § II. 5) ортогональное разложенне единнцы в расширенном пространстве. Тогда оператор $X=$ $=\int z E\left(d^{2} z\right)$ с соответствующей областью определения будет нормальным оператором, причеи $|X \psi|^{2}=\int|z|^{2}\left(\psi \mid E\left(d^{2} z\right) \psi\right)=\int|z|^{2}\left(\psi \mid M\left(d^{2} z\right) \psi\right)=$ $=\mid Y \phi$ В для $\phi \in \mathscr{D}(Y)$. Из последнего соотношення (11.10) вытекает, чпо $E X \psi=Y \psi$ для $\psi \in \mathscr{T}(Y)$, так что $\|X \psi \mathrm{P}=\mid \tilde{E} X \psi\|^{2}$, откуда $X \psi=\tilde{E} X \psi=Y \psi, \psi \in \mathscr{D}(Y)$. Такия образом, $X$ является расширением оператора $Y$.

Примером субнормального (ограниченного) оператора является оператор $P^{*}$, сопряженный к оператору фазы $P$ гармонического осциллятора. Его нормальное расширенне наглядно изображается блочной матрицен

причем исходный оператор $P^{*}$ изображается блоком, находящимся в правом нижнем углу.

Из соотношений (11.9) и доказанного утверждения вытекает, что оператор рождения субнормален. Построим его вормальное расширение. Для этого рассмотрии коммутирующее расширение (7.9) пары операторов $P, Q$. В терминах операторов $a, a^{*}$ оно яапншется в виде
\[
\tilde{a}=a \otimes I_{0}+I \otimes a_{0}^{*}, \quad \tilde{a}^{*}=a^{*} \otimes I_{0}+I \otimes a_{0} .
\]

Операторы $\tilde{a}, \tilde{a}^{*}$ нормальны. Пусть $\left.\mid\right)_{00}(0 \mid-$ оператор плотности основного состояния в $\mathscr{K}$ о. Отождествим $\mathscr{K}$ с подпространством пространства $\mathscr{K} \otimes \mathscr{K}$, состоящим из векторов вида $\mid \psi) \otimes \mid 0)_{0}$, $\psi \in \mathscr{K}$. Тогда $\mathscr{K} \subset \mathscr{K} \otimes \mathscr{K}_{0}$ и оператор $\tilde{a}^{*}$ является вормальным расширением $a^{*}$, так как
\[
\left.\left.\left.\tilde{\sigma}^{*}[|\Psi \otimes| 0\rangle_{0}\right]=a^{*}|\psi\rangle \otimes \mid 0\right)_{0}+|\psi\rangle \otimes a_{0} \mid 0\right)_{0}=a^{*}|\psi\rangle .
\]