В работе Кохена и Іпеккера [30] была рассмотрена «тривиальная» модель со скрытыми параметрами, удовлетворяющая условию статистического соответствия (Е.1), но не сохраняющая структуру функциональных зависимостей в квантовой механике. Лежащая в основе этой модели идея достаточно прямолинейна и состоит в том, что для каждой квантовой наблюдаемой $\widehat{X}$ вводится свой «скрытый параметр», описывающий стохастичность результатов измерения $\widehat{X}$. Совокупность всех гаких скрытых параметров и образует фазовую переменную $\omega$ данной модели. Цель этого примера состояла в том, чтобы продемонстрировать недостаточность одного условия (Е.1) и силу условия (X.1), которое, казалось бы, позволяет исключить из рассмотрения подобные модели. Оказывается, однако, что, основываясь на сходной идее, можно построить модель со скрытыми параметрами, удовлетворяющую всем минимальным статистическим условиям (Е.1), (X.1), (S.1). Ключевым моментом является, конечно, отказ от однозначности классического описания.

Обозначим $\Omega^{\prime}$ множество чистых квантовых состояний, так что каждому $\omega^{\prime} \in \Omega^{\prime}$ отвечает единичный вектор $\psi_{\omega^{\prime}} \in \mathrm{H}$, для которого $\operatorname{tr} \omega^{\prime} \widehat{X}=\left(\psi_{\omega^{\prime}} \mid \widehat{X} \psi_{\omega^{\prime}}\right)$. Всякое квантовое состояние записывается в виде дискретной или непрерывной смеси чистых состояний
\[
\widehat{S}=\int_{\Omega^{\prime}} \omega^{\prime} S^{\prime}\left(d \omega^{\prime}\right),
\]

где $S^{\prime}\left(d \omega^{\prime}\right)$ – некоторое распределение вероятностей на $\Omega^{\prime}$, причем такая запись, конечно, неоднозначна. Математически состояние (10) определяет аффинное отображение $S^{\prime} \rightarrow \widehat{S}$ симплекса $\mathbf{S}\left(\Omega^{\prime}\right)$ на выпуклое множество $\widehat{\mathbf{S}}$.

Пусть $\widehat{E}=\left\{\widehat{E}_{i}\right\}$ – ортогональное разложение единицы в $\mathrm{H}$, описывающее квантовое измерение. Достаточно будет ограничиться максимальными измерениями, для которых $\widehat{E}_{i}$ – проекторы на векторы $e_{i}$ ортонормированного базиса в Н. Положим
\[
M_{i}\left(\omega^{\prime}\right)=\operatorname{tr} \omega^{\prime} \widehat{E}_{i}=\left|\left(\psi_{\omega^{\prime}} \mid e_{i}\right)\right|^{2},
\]

тогда $M=\left\{M_{i}\left(\omega^{\prime}\right)\right\}$ будет классическим рандомизованным измерением на $\Omega^{\prime}$. Из (10) и (11) получаем:
\[
\operatorname{tr} \widehat{S} \widehat{E}_{i}=\int_{\Omega^{\prime}} S^{\prime}\left(d \omega^{\prime}\right) M_{i}\left(\omega^{\prime}\right) .
\]

Таким образом удалось построить классическую модель, в которой квантовые состояния описываются распределениями вероятностей $S^{\prime}$ на «фазовом пространстве» $\Omega^{\prime}$, а (максимальные) квантовые измерения – некоторыми рандомизованными классическими измерениями $M$, причем выполняется условие статистического соответствия (12). Квантовая теория дает сжатое описание этой классической модели в смысле § 6 гл. I.

Следующий шаг состоит в том, что каждое рандомизованное классическое измерение вида (11) реализуется как детерминированное измерение $E^{0}=\left\{E_{i}^{0}\left(\omega^{\prime}, \lambda_{\widehat{E}}\right)\right\}$ с помощью рандомизующего вероятностного пространства $\left(\Lambda_{\widehat{E}}, d \lambda_{\widehat{E}}\right)$, например, как описано в конце $\S 2$ гл. I. Можно сказать, что каждому максимальному квантовому измерению сопоставляется «рулетка» ( $\Lambda_{\widehat{E}}, d \lambda_{\widehat{E}}$ ), с помощью которой моделируется стохастичность исходов измерения в каждом чистом состоянии $\omega^{\prime}$. Ес.ли же состояние $\widehat{S}$ является смешанным, то распределение исходов измерения $\widehat{E}$ дается соответствующей смесью
\[
\operatorname{tr} \widehat{S} \widehat{E}_{i}=\int_{\Omega^{\prime}} \int_{\Lambda_{\widehat{E}}} S^{\prime}\left(d \omega^{\prime}\right) d \lambda_{\widehat{E}} E_{i}^{0}\left(\omega^{\prime}, \lambda_{\widehat{E}}\right),
\]

как видно из (12) и (5). Чтобы охватить всю совокупность максимальных квантовых измерений, введем произведение вероятностных пространств $\left(\Omega^{\prime \prime}, P^{\prime \prime}\right)=\prod_{\widehat{E}}\left(\Lambda_{\widehat{E}}, d \lambda_{\widehat{E}}\right)$. Таким образом, каждое $\omega^{\prime \prime} \in \Omega^{\prime \prime}$ представляет собой набор $\omega^{\prime \prime}=\prod_{\widehat{E}} \lambda_{\widehat{E}}$ показаний независимых «рулеток», отвечающих всевозможным максимальным квантовым измерениям, так что $P\left(d \omega^{\prime \prime}\right)=\prod_{\widehat{E}} d \lambda_{\widehat{E}}$.

Теперь определим фазовое пространство искомого классического описания как $\Omega=\Omega^{\prime} \times \Omega^{\prime \prime}$, так что $\omega=$ $=\left(\omega^{\prime}, \omega^{\prime \prime}\right)$. Классические состояния будут задаваться распределениями вероятностей на $\Omega$ вида $S(d \omega)=S^{\prime}\left(d \omega^{\prime}\right)$. $P\left(d \omega^{\prime \prime}\right)$, где $S^{\prime}$ – произвольное распределение вероятностей на $\Omega^{\prime}$. Соответствие $S \rightarrow \widehat{S}$ определяется формулой
\[
\widehat{S}=\int_{\Omega} \omega^{\prime} S(d \omega)=\int_{\Omega^{\prime}} \omega^{\prime} S^{\prime}\left(d \omega^{\prime}\right) .
\]

Каждому максимальному квантовому измерению $\widehat{E}$ взаимно-однозначно сопоставляется детерминированное измерение $E=\left\{E_{i}(\omega)\right\}$, где $E_{i}(\omega)=E_{i}^{0}\left(\omega^{\prime}, \pi_{\widehat{E}}\left(\omega^{\prime \prime}\right)\right)$, а $\pi_{\widehat{E}}\left(\omega^{\prime \prime}\right)=\lambda_{\widehat{E}}$ есть координатная проекция точки $\omega^{\prime \prime}$. Из (13) вытекает, что
\[
\operatorname{tr} \widehat{S} \widehat{E}_{i}=\int_{\Omega} S(d \omega) E_{i}(\omega) .
\]

Остается определить соответствие между квантовыми наблюдаемыми и случайными величинами на $\Omega$. Пусть $\widehat{X}-$ квантовая наблюдаемая и $\widehat{E}=\left\{\widehat{E}_{j}\right\}$ – одно из соответствующих ей максимальных измерений, так что $\widehat{X}=\sum_{j} x_{j} \widehat{E}_{j}$. Пусть $E=\left\{E_{j}(\omega)\right\}$ – соответствующее ему классическое детерминированное измерение. Рассмотрим случайную величину $X(\omega)=\sum_{j} x_{j} E_{j}(\omega)$. Поскольку $\widehat{E}$ определяется по $\widehat{X}$, вообще говоря, неоднозначно, мы получаем некоторую совокупность случайных величин $X(\omega)$, отвечающих
всевозможным $\widehat{E}$. Каждой такой случайной величине $X$ сопоставим квантовую наблюдаемую $\widehat{X}$. Важно, что $X(\omega)$ зависит от $\omega^{\prime \prime}$ только через координатную проекцию $\lambda_{\widehat{E}}=$ $=\pi_{\widehat{E}}\left(\omega^{\prime \prime}\right)$. Если $X(\omega)
ot \equiv$ const, то это позволяет однозначно определить $E$ по данному $X$. Тогда набор значений $\left\{x_{j}\right\}$ также однозначно восстанавливается по $X$. Далее по $E$ однозначно находится $\widehat{E}$, а значит, и $\widehat{X}=\sum_{j} x_{j} \widehat{E}_{j}$. Поэтому отображение $X \rightarrow \widehat{X}$ однозначно для $X
ot \equiv$ const. Если же $X \equiv \lambda$, то $x_{j}=\lambda$ и, следовательно, $\widehat{X}=\lambda \widehat{I}$, так что и в этом случае однозначность не может нарушиться.

Из (15) следует, что $\operatorname{tr} \widehat{S} \widehat{X}=\int_{\Omega} S(d \omega) X(\omega)$, так что условие (Е.1) выполняется. Отображение $S \rightarrow \widehat{S}$, определяемое формулой (14), очевидно, аффинно, значит, условие (S.1) также выполняется. Проверим выполнение функционального условия (X.1). Пусть $X$ – случайная величина, $X \rightarrow \widehat{X}$, и $f-$ функция ( $X$ и $f$ можно считать непостоянными). Тогда $f(X(\omega))=\sum_{j} f\left(x_{j}\right) E_{j}(\omega)$. Поскольку $\widehat{E}$ определяется по $E$, т. е. по $X$, однозначно, то $\widehat{f(X)}=$ $=\sum_{j} f\left(x_{j}\right) \widehat{E}_{j}=f(\widehat{X})$.

Отметим, что в случае $\operatorname{dim} \mathrm{H}=2$, когда всякое нетривиальное разложение единицы в $\mathrm{H}$ максимально, наша конструкция удовлетворяет даже условию однозначности (X.0). Это объясняет наличие ограничения $\operatorname{dim} \mathrm{H} \geqslant 3$ в утверждениях 2,3 .

Говоря кратко, предложенное классическое описание устроено так, что все способы смешивания, приводящие к одинаковым квантовым состояниям $\widehat{S}$, и все измерения, приводящие к одинаковым квантовым наблюдаемым $\widehat{X}$, становятся в нем различимыми. Соответствие $S \rightarrow \widehat{S}$ взаимно-однозначно лишь для чистых состояний $\widehat{S}$, а соответствие $X \rightarrow \widehat{X}$ – лишь для наблюдаемых с простым спектром, которым соответствует единственное максимальное измерение.
Конечно, такая модель не может реально претендовать на замену аппарата квантовой механики. Она крайне неэкономна с точки зрения представления статистики экспериментов и содержит массу несущественных «подробностей». Тем не менее значение приведенной здесь конструкции видится в том, что она выявляет структурные свойства квантовой теории, которые могут быть сохранены в классическом описании, и определенно показывает, что доказательство невозможности скрытых параметров не может основываться на одних минимальных статистических требованиях (E.1), (S.1), (X.1). При этом наличие дополнительности не является помехой для классического описания, коль скоро допускается, что такое описание может быть неоднозначным. Аналогичные выводы справедливы для произвольной отделимой модели, так как эти требования касаются лишь тех свойств квантовомеханического описания, которые являются общими для всех статистических моделей. Таким образом, рассмотрение гипотезы о скрытых параметрах с необходимостью должно привлекать какие-то более специфические особенности квантовомеханического описания.